Differenza tra insiemi

Avendo ben chiaro il concetto di insieme, sfruttando i diagrammi di Venn per visualizzare meglio le operazioni svolte e definendo un insieme universo U per evitare ambiguità, procediamo spiegando una delle principali operazioni insiemistiche.

Dati A, B due insieme generici contenuti in U, la differenza di A e B restituisce un nuovo insieme risultante B\A che è la classe di tutti gli oggetti del primo insieme (B) che contemporaneamente non appartengono al secondo insieme (A). L’insieme risultante, intuitivamente contenuto anch’esso in U, è definito come B\A ≔ {x ∈ U | x ∈ B ⋀ x ∉ A} che in altre parole è equivalente a togliere dal primo insieme (B) tutti i suoi elementi che appartengono all’ intersezione con il secondo insieme (A), ovvero B ∩ A. Se abbiamo due insiemi disgiunti, B ∩ A = ∅, la differenza B\A sarà pari all’insieme di partenza B poiché gli elementi di A che non appartengono a B non hanno alcun effetto nell’operazione di differenza.

La rappresentazione con il diagramma di Venn dell’insieme differenza corrisponde alla parte colorata in arancione nella seguente figura

mentre per il caso particolare diinsiemi disgiunti si ha

Esempio 1: Sia U ≔ ℕ e siano A, B, C alcuni suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {1, 2, 3, 4}, B ≔ {3, 4, 5}, C ≔ {5, 6, 7}. Operando la differenza insiemistica tra i precedenti insiemi avremo

A \ B = {1, 2} B \ A = {5}
A \ C = {1, 2, 3, 4} = A C \ A = {5, 6, 7} = C
B \ C = {3, 4} C \ B = {6, 7}

In particolare si noti che la differenza insiemistica generalmente è non commutativa cambiando l’ordine dei termini il risultato cambia. In questo caso, per esempio, B \ C ≠ C \ B e così via.

Esempio 2: Sia U≔ ℕ e siano A, B due suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {x ∈ U | x ≥ 4}, B ≔ {x ∈ U | x ≥ 20}. Operando la differenza tra i precedenti insiemi avremoA \ B = {x ∈ U | x ≥ 4 ⋀ x < 20}B \ A = ∅ con particolare attenzione ai simboli di <, ≤, >, ≥. Nel caso B \ A = ∅ possiamo affermare che B sia sottoinsieme di A, B ⊂ A, come vedremo nelle proprietà.

NOTA: ponendo >U come ℚ o ℝ possiamo attuare l’operazione di differenza anche tra insiemi densi e questo tornerà utile nell’Analisi Matematica.


Proprietà differenza

Posto un insieme universo U e dati due suoi sottoinsiemi generici A e B, per l’operazione di differenza valgono le seguenti proprietà:

  • La differenza di un qualsiasi insieme con sè stesso è equivalente all’insieme vuoto, infatti se B = A allora: A \ B = A \ A = ∅ poiché sottraiamo da A tutti gli elementi di cui è composto;


  • La differenza di un qualsiasi insieme A con un suo sottoinsieme B, a seconda dell’ordine, coincide con il complementare del sottoinsieme rispetto all’insieme contenitore o con l’insieme vuoto: B \ A = ∅ poiché per ipotesi B ⊆ A e per definizione di sottoinsieme tutti gli elementi di B sono contenuti in A e A \ B = 𝓒 B posto U ≔ A, infatti l’insieme U a cui vogliamo togliere gli elementi di B contiene già B per ipotesi e quindi rimangono tutti gli elementi che non appartengono ad B, ossia il suo complementare rispetto all’insieme contenitore A;


  • La differenza tra un insieme e l’insieme vuoto ∅, a seconda dell’ordine, da l’insieme stesso o l’insieme vuoto: A \ ∅ = A poiché per definizione l’insieme vuoto non ha elementi che possono essere sottratti da A e ∅ \ A = ∅ dato che l’insieme a cui vogliamo togliere gli elementi di A è già vuoto in partenza;


  • La differenza tra un insieme e l’insieme universo U, a seconda dell’ordine, da il complementare dell’insieme stesso o l’insieme vuoto: A \ U = ∅ e U \ A = 𝓒 A poiché per ipotesi A ⊆ U e possiamo applicare la proprietà 2.

NOTA: le precedenti 4 proprietà sono tutte casistiche particolari della proprietà di n.2. In particolare si ricordi la nozione di sottoinsiemi impropri per la quale ∅, A ⊆ A.

Riassumiamo le 4 proprietà nella seguente tabella seguendo l’ordine precedente

Proprietà Differenza
Differenza di A con sè stesso A \ A = ∅
Differenza con un sottoinsieme B ⊆ A ⇔ B \ A = ∅
B ⊆ A ⇔ A \ B = 𝓒 B con U ≔ A
Differenza e insieme vuoto A \ ∅ = A
∅ \ A = ∅
Differenza e insieme ambiente A \ U = ∅
U \ A = 𝓒 A