Uguaglianza tra insiemi

Definito un insieme come una raccolta di elementi accomunati da una proprietà comune o semplicemente espressi tramite elencazione, esplicitiamo la condizione di uguaglianza tra due insiemi A, B come segue: A = B ⇔ ( x ∈ A ⋀ x ∈ B )

cioè dato un elemento che appartenga all’insieme A si ha di conseguenza che esso appartiene anche all’insieme B e, viceversa, dato un elemento che appartiene B segue che esso deve appartenere anche ad A.

Nota: Basta un solo elemento che non rispetti la precedente doppia implicazione per rendere i due insiemi diversi come mostrato nel seguente diagramma di Venn.

Una definizione equivalente della condizione di uguaglianza tra gli insiemi prevede l’utilizzo del concetto di sottoinsieme si dice che un insieme A è sottoinsieme di un insieme B, o contenuto in B, se ogni elemento dell’insieme A appartiene anche all’insieme B; in notazione si scriverà A ⊆ B che equivale alla seguente espressione se ∀ x | x ∈ A ⇒ x ∈ B allora A ⊆ B

Esempio 1: Il precedente diagramma di Venn usato per mostrare la non uguaglianza tra due insiemi è un caso particolare in cui l’insieme A ≔ {1, 2, 3, 4, 5} è contenuto in B ≔ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Dato il concetto di sottoinsieme ne deriva un altro modo per descrivere l’uguaglianza tra due insiemi A, B generici che è quello della doppia inclusione A = B ⇔ ( A ⊇ B ⋀ B ⊆ A )

cioè i due insiemi A, B sono uguali se e solo se il primo insieme è contenuto nel secondo e il secondo nel primo: intuitivamente ciò ne decreta l’uguaglianza

Cenno di dimostrazione:

(⇒) Siano A, B due insiemi e A = B; di conseguenza è banale che ∀ a ∈ A, a ∈ B ⇒ A ⊆ B e viceversa ∀ b ∈ B, b ∈ A ⇒ B ⊆ A.

(⇐) Sia A, B due insiemi generici con A ⊆ B ⋀ B ⊆ A. Supponiamo, per assurdo, che A ≠ B ovvero ∃ a ∈ A | a ∉ B ma questo contraddice l’ipotesi A ⊆ B secondo cui ∀ a ∈ A, a ∈ B. Analoga è la contraddizione dell’ipotesi di B ⊆ A nella supposizione di almeno un elemento b ∈ B che non appartenga ad A. La supposizione A ≠ B è dunque contraddittoria con le ipotesi di inclusione e se ne deduce che A = B necessariamente.