L'angolo nel piano euclideo

L'angolo, nel piano euclideo, è una delle parti in cui il piano viene suddiviso da due semirette aventi la stessa origine. Il punto di origine delle semirette prende il nome di vertice dell’angolo mentre le semirette vengono denominate lati dell’angolo. Il concetto di angolo, pur non essendo compreso negli enti geometrici primitivi, insieme alla nozione di segmento è estremamente importante per lo sviluppo di tutta la geometria euclidea.

In particolare, date due semirette con origine in comune come nella definizione, si ha una divisione del piano in due parti e, di conseguenza, si hanno due angoli. Graficamente gli angoli sono le parti di piano colorate in arancione e azzurro nella figura a sinistra, tuttavia è possibile indicarli con una rappresentazione più snella: come mostrato nella figura a destra è sufficiente disegnare un arco che connetta i lati dell’angolo considerato.

Inoltre un angolo è caratterizzato da una ampiezza che può essere misurata in gradi o radianti a seconda delle necessità.

Notazione per indicare gli angoli

Per indicare un angolo esistono diversi tipi di notazione utilizzabili; se si assume un angolo convesso le principali notazioni fanno uso dell’accento circonflesso e sono le seguenti:

• sequenza di 3 lettere \(a\widehat{O}b\) dove la lettera centrale maiuscola corrisponde con il vertice dell’angolo, mentre le altre lettere minuscole indicano le semirette che corrispondono ai lati dell’angolo
• sequenza di 3 lettere \(A\widehat{O}B\) dove la lettera centrale maiuscola è ancora il vertice dell’angolo ma, in questo caso, le altre lettere sono maiuscole per indicare rispettivamente un punto sulla prima semiretta e un punto sulla seconda semiretta
• una sola lettera \(\widehat{O}\) che corrisponde sempre al vertice dell’angolo
• una sola lettera \(\widehat{\alpha}\), o \(\alpha\), scelta arbitrariamente dall’alfabeto greco

Nota: Per convenzione nel caso di angoli convessi le lettere usate, se più d'una, vengono lette in senso antiorario, mentre nel caso di angoli concavi in senso orario.

Nel caso si debba indicare un angolo concavo, invece, la notazione più comune prevede l’uso dell’accento circonflesso rovesciato come nei seguenti esempi:

• sequenza di 3 lettere \(a\check{O}b\) dove le lettere fanno riferimento a vertice e semirette come nel primo caso convesso
• sequenza di 3 lettere \(A\check{O}B\) dove le lettere fanno riferimento a vertice e punti appartenenti alle semirette, come nel secondo caso convesso
• una sola lettera \(\check{O}\) che corrisponde sempre al vertice dell’angolo
• una sola lettera \(\check{\beta}\), o \(\beta\), scelta arbitrariamente dall’alfabeto greco

In alternativa, se si vuole mantenere l’accento circonflesso, occorre indicare le lettere in senso orario. I primi due esempi nel precedente elenco diventano quindi rispettivamente \(b\widehat{O}a\) e \(B\widehat{O}A\).

Congruenza tra angoli

Due angoli sono detti congruenti se essi risultano sovrapponibili punto per punto in seguito ad un movimento rigido; in altre parole due angoli sono congruenti se, dopo il movimento rigido, i loro lati coincidono e il vertice è lo stesso. In particolare due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza e, in notazione, vengono indicati come segue: \(A\widehat{B}C \cong D\widehat{E}F\) oppure \(\alpha \cong \beta\).

Nota: Il movimento rigido che si applica agli angoli è, come nel caso dei segmenti, una isometria: trasformazione geometrica definita anche nel piano euclideo che ha la proprietà di lasciare invariate le distanze e gli angoli.

Nelle successive pagine e specialmente in "Classificazione degli angoli" verranno elencate e approfondite le diverse tipologie di angolo nel piano euclideo. La suddivisione avviene in base all’ampiezza dell’angolo stesso o alla posizione reciproca rispetto ad altri angoli, ai vertici e ai lati.