Geometria euclidea piana: enti e postulati

La geometria euclidea piana, o semplicemente geometria piana, è un sistema matematico, appartenente alla Geometria, che studia enti e figure piane, cioè in 2 dimensioni: alcuni esempi possono essere la retta, l’area di un poligono, un angolo compreso fra due segmenti, eccetera.

L’introduzione di questa branca della Geometria è attribuita al matematico Euclide, che ne diede una formulazione sistematica nella sua opera "Elementi". Il punto di partenza della sua geometria sono cinque concetti intuitivi detti postulati, o assiomi, da cui si possono dedurre logicamente tutti gli altri teoremi. Successivamente, negli "Elementi" viene trattata anche la geometria solida in tre dimensioni che, tuttavia, in questa sezione non verrà approfondita.

Nota: Dopo Euclide sono state sviluppate particolari geometrie non basate necessariamente sui cinque postulati: queste geometrie prendono il nome di geometrie non euclidee.

Enti fondamentali

Gli enti fondamentali, o enti primitivi, sono gli elementi fondanti della geometria piana: essi sono definiti intuitivamente e permettono di definire in maniera sistematica tutti gli altri enti. I tre enti primitivi sono i seguenti:

• il punto: unità adimensionale del piano
• la retta: linea di lunghezza infinita nel piano, o insieme infinito di punti allineati
• il piano: superficie piana di estensione infinita, o foglio infinito

Nota: Nonostante sopra si sia provato a descrivere questi concetti, quelle date non sono le loro definizioni: gli enti primitivi, in quanto tali, sono dati per noti - intuitivamente lo sono - e senza una definizione, proprio per porre un punto di inizio da cui definire tutto il resto. Senza questa assunzione è impossibile raggiungere un inizio nella catena delle definizioni: basti pensare a come, per dare l’idea di piano, si sia dovuto usare il termine superficie.

Per approfondire il piano euclideo e gli enti geometrici fondamentali si consulti la pagina "Il piano euclideo".

I cinque postulati di Euclide

I postulati della geometria euclidea sono sostanzialmente le regole di partenza a cui tutti gli enti geometrici devono sottostare. Essi sono cinque e sono i seguenti:

1. Tra due punti qualsiasi passa una e una sola retta.
2. Un segmento può essere prolungato indefinitamente oltre i due punti estremi.
3. Dato un punto e una lunghezza è possibile descrivere un cerchio.
4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro.
5. Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli hanno somma minore di due retti.

Nota: Nei cinque postulati di Euclide si nota subito una differenza fra i primi quattro e il quinto, in termini di formulazione e immediatezza. Una riformulazione moderna del quinto postulato, di più facile comprensione, è la seguente:5'. Per un punto esterno a una retta data passa una e una sola retta parallela a questa.

Corollari dei postulati di Euclide

Dai cinque postulati di Euclide è possibile dedurre delle relazioni tra gli enti geometrici fondamentali: punti, rette e piani. Le principali relazioni sono le seguenti:

1. Per un punto passano infinite rette.
2. Per una retta nello spazio passano infiniti piani.
3. Per tre punti non allineati nello spazio passa uno e un solo piano.

Inoltre si definiscono altri enti geometrici, quali:

• il segmento: è definito come la parte di retta delimitata da due punti distinti
• la semiretta: origina da una retta che viene divisa in due parti da un punto; ciascuna parte è una semiretta, caratterizzata da un’origine ma senza un fine

Curiosità

Nel 1899, il matematico tedesco David Hilbert mette in evidenza come, nei postulati di Euclide, siano impliciti ulteriori assunti: propone quindi, nel "Grundlagen der Geometrie", un nuovo sistema assiomatico per la geometria euclidea fondato su 21 assiomi.