Il segmento nel piano euclideo

Il segmento è un ente della geometria euclidea, e in particolare del piano euclideo, costituito da una parte di retta delimitata da due suoi punti, denominati estremi.
La notazione che si utilizza per indicare un segmento prevede di etichettarlo usando il nome dei suoi punti estremi: nel caso in figura, il segmento sarà indicato come il segmento AB, o in alternativa come \(\overline{AB}\).

Il segmento è derivato dagli enti geometrici fondamentali, in particolare dal punto e dalla retta, ed è quindi un ente geometrico "derivato". Tuttavia, come si vedrà più avanti, ricopre un ruolo primario nello sviluppo della geometria euclidea.

Nota: Nel fissare due punti A e B su una retta, oltre al segmento AB, si ottengono due semirette, una di origine A e una di origine B.

Congruenza tra segmenti

Due segmenti sono detti congruenti se essi sono sovrapponibili, punto per punto, mediante un movimento rigido; equivalentemente, due segmenti sono detti congruenti se hanno la stessa lunghezza. Dati due segmenti \(\overline{AB}\) e \(\overline{CD}\), per indicarne la congruenza si scrive \(\overline{AB} \cong \overline{CD}\).

Nota: Il movimento rigido che si applica ai segmenti è, più precisamente, una isometria: trasformazione geometrica definita nel piano euclideo, e non solo, che mantiene invariate le distanze e gli angoli.

Classificazione dei segmenti

Siano dati due segmenti \(\overline{AB}\) e \(\overline{CD}\). In base alle loro lunghezze e alle posizioni relative, ossia come sono disposti uno rispetto all’altro nello spazio, è possibile classificarli. I due segmenti sono:

• consecutivi: hanno un estremo come unico punto in comune
• adiacenti: sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
• sovrapposti: hanno un estremo in comune e tutti i punti del segmento minore appartengono anche all'altro segmento
• coincidenti: sono sovrapposti e hanno entrambi gli estremi in comune
• congruenti: non sono coincidenti ma lo diventano attraverso un movimento rigido (si veda la sezione precedente)
• esterni: non hanno punti in comune
• incidenti: hanno un solo punto, chiamato punto di intersezione, in comune

Somma e differenza di segmenti

Per eseguire l’operazione di somma tra due segmenti occorre che siano adiacenti. Ci sono sostanzialmente tre casistiche che si possono incontrare nel tentativo di sommare segmenti:

• segmenti adiacenti
• segmenti consecutivi
• segmenti non adiacenti e non consecutivi

Se ci troviamo nel primo caso, ovvero i segmenti sono adiacenti, allora possiamo calcolare la loro somma senza ulteriori passaggi: siano \(\overline{AB}\) e \(\overline{CD}\) segmenti adiacenti con estremo coincidente \(B \equiv C\), allora la somma è il segmento \(\overline{AD}\), con lunghezza pari alla somma della lunghezza dei singoli segmenti.\(\overline{AB} + \overline{CD} =\overline{AD}\)

Se, invece, ci si trova nel secondo caso è sufficiente portare entrambi i segmenti sulla stessa retta per mezzo di una rotazione rigida, con centro di rotazione l’estremo in comune tra i due segmenti. Il terzo caso è quello più laborioso poiché occorre prima traslare rigidamente un segmento per renderlo consecutivo all’altro e poi, ricondotti così al secondo caso, ripetere l’operazione di rotazione.

Per quanto riguarda l’operazione di differenza tra due segmenti occorre che siano sovrapposti. Le casistiche che si possono incontrare sono, come per la somma, principalmente tre e sono le seguenti:

• segmenti sovrapposti
• segmenti adiacenti o consecutivi
• segmenti non sovrapposti e nemmeno adiacenti o consecutivi

Dalla seconda e dalla terza casistica, come prima, ci si deve ricondurre a segmenti sovrapposti tramite traslazione e rotazioni rigide. Ottenuti due segmenti sovrapposti è possibile eseguire l’operazione di differenza: siano \(\overline{AB}\) e \(\overline{CD}\) segmenti sovrapposti con estremo coincidente \(A \equiv C\), allora la differenza è il segmento \(\overline{BD}\), con lunghezza pari alla differenza della lunghezza dei singoli segmenti.\(\overline{CD} - \overline{AB} =\overline{BD}\)