Radici quadrate di un numero complesso tramite calcolo algebrico

Nella pagina "Radici n-esime di un numero complesso" si è mostrato come calcolare le n radici di un numero complesso passando per la forma trigonometrica. Tuttavia, nel caso in cui si volesse poi scrivere le radici in forma algebrica a partire da quella trigonometrica, non sempre è possibile o semplice a causa di angoli non notevoli che potrebbero capitare.

Esempio 1: Sia dato z = -15 + 8. Passando per la sua forma trigonometrica, si trovano come sue radici quadrate \(z_1 = \sqrt{17}\, [\cos(\arctan4)+ i \sin(\arctan4)] \) \(z_2 = \sqrt{17}\, [\cos(\arctan4-\pi)+ i \sin(\arctan4-\pi)] \)e riuscire a tornare in forma algebrica è un’impresa.

Si illustra quindi un metodo per evitare di dover utilizzare formule trigonometriche e di dover passare per le coordinate polari di un numero complesso, almeno per quanto riguarda il caso delle radici quadrate. Sia dato un numero complesso z ∈ ℂ esprimibile in forma cartesiana come \(z = a + ib\) con a, b ∈ ℝ

Calcolare \(\sqrt{z}\) equivale a cercare altri numeri wi ∈ ℂ tali per cui\(w_{i}^2 =z\)

Si scriva quindi \(w = x + iy\), con x, y ∈ ℝ, e si eguaglino le due equazioni:\((x + iy)^2 = a + ib\)\(x^2 + 2ixy - y^2 = a + ib\)e, uguagliando parte reale e parte immaginaria, si ottiene il seguente sistema\(\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases}\)

Supponendo che x ≠ 0 possiamo esprimere y in funzione di x nella seconda equazione e sostituire y nella prima\(\begin{cases} x^2 - (\frac{b}{2x})^2 = a \\ y = \frac{b}{2x}\end{cases}\)dove la prima espressione può essere rimaneggiata, sempre sotto l’ipotesi x ≠ 0, come segue:\(x^2 - \frac{b^2}{4x^2} = a\)\(4x^4 - b^2 = 4ax^2\)\(4x^4 - 4ax^2 - b^2 = 0\)

Il sistema finale che si ottiene è il seguente:\(\begin{cases} 4x^4 - 4ax^2 - b^2 = 0 \\ y = \frac{b}{2x} \end{cases}\)

Si noti che x,y ∈ ℝ e che ci si è ridotti a risolvere un sistema contenente un’equazione di quarto grado, risolvibile ponendo \(t = x^2\) e trattandola come un’equazione di secondo grado. Le soluzioni che si trovano sono del tipo \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) e si ottiene che le radici complesse di z = a + ib sono\(z _1= x_1 + iy_1 \qquad \qquad z _2= x_2 + iy_2\)

Nota: Nel caso di radici puramente immaginarie, x = 0, il sistema finale non è più valido; tuttavia il caso diventa banale ponendo x = 0 nel sistema di partenza. Per approfondire si veda l’esercizio 3.

Esempio 2: Sia dato z = -15 + 8i. Si trovino le sue radici quadrate in forma algebrica.
In questo caso a = -15, b = 8: \(\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ 2xy = 8 \end{cases}\)

Nel caso non si ricordi il sistema finale ottenuto, si possono sempre ripetere ogni volta i passaggi algebrici illustrati nella parte teorica; tuttavia qua non ci si sofferma troppo e si passa subito al sistema finale:\(\begin{cases} 4x^4 - 4(-15)x^2 - (8)^2 = 0 \\ y = \frac{8}{2x} \end{cases}\)dove l’equazione di quarto grado diventa\(4x^4 + 60x^2 - 64 = 0\)\(x^4 + 15x^2 - 16 = 0\)

Ponendo \(t = x^2\) si ottiene\(t^2 + 15t - 16 = 0\)che risolta come qualsiasi equazione di secondo grado, ad esempio usando la scomposizione per somma-prodotto, dà come risultato \(t_1 = 1\) e \(t_2 = -16\). Ora, ricordando che \(t = x^2\) si ottengono \(x_1 = \pm 1\) e \(x_2 = \pm 4i\). Tuttavia \(x_1\) e \(x_2\) devono essere reali e quindi la seconda soluzione va scartata. Inserendo i valori di \(x_1\) trovati nella seconda espressione del sistema si hanno le sue soluzioni:(1,4), (-1,-4)

Le radici di z = -15 + 8i in forma algebrica sono quindi\(z_1 = 1+4i \qquad \qquad z_2 = -4i -1\)

Esempio 3: Determinare il tipo di numeri complessi z = a + ib che ammette radici quadrate puramente immaginarie.

Se una radice quadrata di z, w = x + iy, è puramente immaginaria deve avere x = 0. Si prenda quindi il sistema visto nella parte teorica e si ponga la condizione x = 0.\(\begin{cases} 0^2 - y^2 = a \\ 2\cdot 0y = b \end{cases}\)\(\begin{cases}- y^2 = a \\ b = 0 \end{cases}\)da cui la prima espressione, ricordando la proprietà dell’unità immaginaria \(i^2 = -1 \),\(- y^2 = a\)\(i^2 y^2 = a\)\(iy = \pm \sqrt{a}\)\(y = \pm \frac{\sqrt{a}}{i} = \mp i \sqrt{a}\)

Tuttavia y e a devono essere numeri reali per definizione: affinché l’equazione rispetti questa condizione è necessario che a sia un numero reale negativo.\(y = \mp i \sqrt{-|a|} = \mp i \sqrt{i^2|a|}\)\(y = \mp i^2 \sqrt{|a|} = \pm \sqrt{|a|}\)

Le soluzioni che si trovano sono del tipo \((0,y_1)\), \((0,-y_1)\) e si ottiene che le radici complesse di \(z = a \), si ricordi b = 0 e a ∈ ℝ^- , sono\(z _1= iy_1 = i\sqrt{|a|}\)\(z _2= -iy_1 = -i\sqrt{|a|}\)

La conclusione è che tutti i numeri complessi che ammettono solo radici quadrate puramente immaginarie sono tutti i numeri reali negativi, a ∈ ℝ^-.