Quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio è uno dei prodotti notevoli più utilizzati nell'algebra che permette di semplificare il calcolo del quadrato di una somma o differenza di due monomi.
Il quadrato di un binomio si riferisce all'elevamento al quadrato di un'espressione algebrica formata dalla somma o differenza di due monomi. La formula generale per il quadrato di un binomio è la seguente:
\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\)
Si tratta della formula generale, in quanto abbiamo usato il termine più o meno per indicare il possibile utilizzo della somma o della differenza dei termini. Andando nello specifico, se consideriamo il quadrato della somma di due monomi, avremo che:
\((a+ b)^2=a^2+2ab+b^2\)
mentre, il quadrato della differenza è:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
La derivazione della formula del quadrato di un binomio può essere facilmente dimostrata espandendo il prodotto del binomio per se stesso. Consideriamo il caso del quadrato della somma (a+b)2:
\((a+b)^2=(a+b)(a+b) = a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b = a^2+2ab+b^2\)
Analogamente possiamo seguire la stessa procedura per il quadrato della differenza, ottenendo che:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
In entrambe le situazioni, il risultato è una combinazione di quadrati dei termini e di un doppio prodotto dei termini stessi, con segni che variano a seconda che il binomio sia una somma o una differenza.
Questo prodotto notevole è estremamente utile per semplificare espressioni che coinvolgono quadrati di binomi, evitando la necessità di espandere manualmente l'espressione.
Esempi di come risolvere quadrati di binomi
Consideriamo la seguente espressione (3x+4)2. Possiamo osservare che si trova nella forma (a+b)2, dove a=3x e b=4. Di conseguenza possiamo applicare la formula del quadrato di un binomio (in questo caso quello di una somma).
Applicando la formula, abbiamo che:
(3x+4)2 = (3x)2 + 2(3x)(4) + (4)2 = 9x2+24x+16
Questo risultato ci mostra come possiamo espandere rapidamente un binomio elevato al quadrato senza dover moltiplicare manualmente ogni termine.
Ora proviamo a calcolare la seguente espressione:
(2-x)2
Possiamo notare che questa volta l’espressione si trova nella forma (a-b)2 con a=2 e b=x. Questo significa che possiamo applicare nuovamente la formula del quadrato di un binomio, però questa volta usando la versione del quadrato della differenza tra monomi.
Questo significa che:
(2-x)2=(2)2 - 2(2)(x) + (x)2 = 4 - 4x + x2
Volendo possiamo risolvere l’espressione usando anche la formula del quadrato della somma, in quanto si potrebbe considerare che sia b=-x, questo significherebbe che:
(2-x)2=(2)2 + 2(2)(-x) + (-x)2 = 4 - 4x + x2
ottenendo lo stesso risultato di prima. Bisogna però fare attenzione ai segni dei singoli termini. Per evitare errori è meglio utilizzare delle parentesi per rendere più chiara l’espressione da risolvere.