Prodotti notevoli: definizioni, esempi e proprietà
I prodotti notevoli sono un concetto fondamentale nell'algebra, rappresentando una serie di identità matematiche che semplificano il calcolo del prodotto tra particolari tipi di polinomi. Questi prodotti sono chiamati "notevoli" proprio perché ricorrono frequentemente in vari contesti matematici.
Un prodotto notevole è una formula che consente di calcolare rapidamente il prodotto di due polinomi, senza dover espandere completamente l'espressione. Queste formule sono utili perché ricorrono in molti problemi algebrici e geometrici, riducendo il numero di passaggi necessari per arrivare al risultato finale.
Esistono diversi tipi di prodotti notevoli, ciascuno con una propria formula specifica. I principali sono:
Quadrato di un binomio
Differenza di quadrati
Cubo di un binomio
Cubo di un trinomio
Quadrato di un binomio
In generale la regola afferma che, il quadrato di un binomio corrisponde al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine.
Consideriamo ad esempio due monomi A e B, il quadrato del binomio (A + B) vale:
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2
ovvero
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Esempio:
(x + 1)2
Partiamo svolgendo il quadrato del primo termine: x2
Poi il doppio prodotto tra il primo termine e il secondo termine: 2x
Infine il quadrato del secondo termine: 1
Unendo i singoli risultati otteniamo che: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
(2x + 3y)2
Svolgiamo il quadrato del primo termine: 4x2
Il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine: 2(6xy) = 12xy
Infine il quadrato del secondo termine: 9y2
Ottenendo così:
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Analogamente si può applicare il quadrato del binomio anche al caso di una differenza tra monomi, ma in questo caso bisogna portare attenzione alla regola dei segni.
Esempio:
(x - 5)2
Partiamo svolgendo il quadrato del primo termine: x2
Il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine: 2(x(- 5)) = 2(-5x) = -10x
Il quadrato del secondo termine: 25
Unendo i singoli risultati otteniamo che:
(x - 5)2 = x2 - 10x + 25
Differenza di quadrati
La regola della differenza di quadrati afferma che il prodotto della somma del primo termine con il secondo termine per la loro differenza, è uguale alla differenza tra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo termine.
Consideriamo i due monomi A e B, la differenza di quadrati tra A e B vale:
(A + B)(A - B) = A2 -AB + BA + B2 = A2 - B2
ovvero:
(A + B)(A - B) = A2 - B2
Esempio:
(x +1)(x -1)
Calcoliamo il quadrato del primo termine: x2
Calcoliamo il quadrato del secondo termine: 1
Uniamo i due risultati secondo la regola A2 - B2:
(x +1)(x - 1) = x2 - 1
(2x + y)(2x -y)
Calcoliamo il quadrato del primo termine: 4x2
Calcoliamo il quadrato del secondo termine: y2
Uniamo i due risultati:
(2x + y)(2x - y) = 4x2 - y2
Quadrato di un trinomio
La regola afferma che il quadrato di un trinomio corrisponde alla somma dei quadrati dei tre monomi più due volte il prodotto del primo monomio per il secondo, più due volte il secondo per il terzo, più due volte il primo per il terzo.
Consideriamo tre monomi A, B e C, il quadrato del trinomio (A + B + C) vale:
(A + B + C)2 = [(A + B) + C]2 = (A + B)2 + 2(A + B)C + C2 =
= A2 + 2AB + B2 + 2AC + 2BC + C2 =
= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
ovvero:
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
Esempio:
(x +3y -2z)2
Il quadrato del primo termine: x2
Il quadrato del secondo termine: 9y2
Il quadrato del terzo termine: 4z2
Doppio prodotto tra il primo e il secondo termine: 2(x)(3y) = 6xy
Doppio prodotto tra il primo e il terzo termine: 2(x)(-2z) = -4xz
Doppio prodotto tra il secondo e il terzo termine: 2(3y)(-2z) = -12yz
Unendo i sei passaggi otteniamo che:
(x +3y -2z)2 = x2 + 9y2 + 4z2 + 6xy - 4xz - 12yz
Cubo di binomio
La regola afferma che il cubo di binomio è uguale alla somma dei cubi del primo e secondo termine, più tre volte il primo al quadrato per il secondo, più tre volte il secondo al quadrato per il primo.
Consideriamo due monomi A e B, il cubo di binomio di (A + B) vale:
(A + B)3 = (A + B)2(A + B) = (A2 + 2AB + B2)(A + B) =
= A3 + A2B + 2A2B + 2AB2 + AB2 + B3 =
= A3 + B3 + 3A2B + 3AB2
ovvero:
(A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2
Esempio:
(x + 1)3
Calcoliamo il cubo del primo termine: x3
Calcoliamo il cubo del secondo termine: 1
Calcoliamo tre volte il primo termine al quadrato per il secondo: 3(x2)(1) = 3x2
Calcoliamo tre volte il secondo termine al quadrato per il primo: 3(1)(x) = 3x
Uniamo i passaggi:
(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
(3x -2y)3
Il cubo del primo termine: 27x3
Il cubo del secondo termine: -8y3
Tre volte il primo termine al quadrato per il secondo: 3(9x2)(-2y) = - 54x2y
Tre volte il secondo termine al quadrato per il primo: 3(4y2)(3x) = 36xy2
Uniamo i passaggi:
(3x -2y)3 = 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3
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