Prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono delle regole che permettono di svolgere in maniera rapida alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi.

I principali prodotti notevoli sono:

Quadrato di un binomio

In generale la regola afferma che, il quadrato di un binomio corrisponde al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine.

Consideriamo ad esempio due monomi A e B, il quadrato del binomio (A + B) vale: $$(A+\!B)^2 = (A +\!B)(A + \!B)=$$ $$=A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2$$ ovvero $$(A + \!B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$$

Esempio:

1. $$(x+\!1)^2$$ Partiamo svolgendo il quadrato del primo termine: x²
   Poi il doppio prodotto tra il primo termine e il secondo termine: 2x
   Infine il quadrato del secondo termine: 1
   
   Unendo i singoli risultati otteniamo che (x + 1)² = x² + 2x + 1




2. $$(2x+\!3y)^2$$ Svolgiamo il quadrato del primo termine: 4x²
   Il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine: 2(6xy) = 12xy
   Infine il quadrato del secondo termine: 9y²
   
   Ottenendo così:   \((2x+3y)^2 = 4x^2 +12xy +9y^2\)

Analogamente si può applicare il quadrato del binomio anche al caso di una differenza tra monomi, ma in questo caso bisogna portare attenzione alla regola dei segni.

Esempio:

3. $$(x-5)^2$$ Partiamo svolgendo il quadrato del primo termine: x²
   Il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine: 2(x(- 5)) = 2(-5x) = -10x
   Il quadrato del secondo termine: 25
   
   Unendo i singoli risultati otteniamo che:   \((x-5)^2 = x^2-10x+25\)

Differenza di quadrati

La regola della differenza di quadrati afferma che il prodotto della somma del primo termine con il secondo termine per la loro differenza, è uguale alla differenza tra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo termine.

Consideriamo i due monomi A e B, la differenza di quadrati tra A e B vale: $$(A+\!B)(A-\!B) =$$ $$= A^2-AB+\!BA + \!B^2 = A^2 - \!B^2$$ ovvero $$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$$

Esempio:

4. $$(x+1)(x-1)$$ Calcoliamo il quadrato del primo termine: x²
   Calcoliamo il quadrato del secondo termine: 1
   
   Uniamo i due risultati secondo la regola A² - B²:   \( (x+1)(x-1) = x^2-1\)




5. $$(2x+y)(2x-y)$$ Calcoliamo il quadrato del primo termine: 4x²
   Calcoliamo il quadrato del secondo termine: y²
   
   Uniamo i due risultati:   \( (2x+y)(2x-y) = 4x^2 -y^2\)

Quadrato di un trinomio

La regola afferma che il quadrato di un trinomio corrisponde alla somma dei quadrati dei tre monomi più due volte il prodotto del primo monomio per il secondo, più due volte il secondo per il terzo, più due volte il primo per il terzo.

Consideriamo tre monomi A, B e C, il quadrato del trinomio (A + B + C) vale: $$(A+B+C)^2=[(A+B)+C]^2 =$$ $$=(A+B)^2 +2(A+B)C+C^2=$$ $$=A^2 +2AB + B^2 +2AC +2BC + C^2 =$$ $$=A^2+B^2+C^2 +2AB+2AC+2BC$$ ovvero $$(A+B+C)^2=$$ $$=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$$

Esempio:

6. $$(x+3y-2z)^2$$ Il quadrato del primo termine: x²
   Il quadrato del secondo termine 9y²
   Il quadrato del terzo termine 4z²
   
   Doppio prodotto tra il primo e il secondo termine: 2(x)(3y) = 6xy
   Doppio prodotto tra il primo e il terzo termine: 2(x)(-2z) = -4xz
   Doppio prodotto tra il secondo e il terzo termine: 2(3y)(-2z) = -12yz
   
   Unendo i sei passaggi otteniamo che:

   $$ (x+3y-2z)^2 =$$ $$=x^2+9y^2+4z^2+6xy-4xz-12yz$$

Cubo di binomio

La regola afferma che il cubo di binomio è uguale alla somma dei cubi del primo e secondo termine, più tre volte il primo al quadrato per il secondo, più tre volte il secondo al quadrato per il primo.

Consideriamo due monomi A e B, il cubo di binomio di (A + B) vale: $$(A+B)^3=(A+B)^2(A+B)=$$ $$=(A^2+2AB+B^2)(A+B)=$$ $$=A^3+A^2B+2A^2B+2AB^2+AB^2+B^3=$$ $$=A^3+B^3+3A^2B+3AB^2$$ ovvero $$(A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3A^2B + 3AB^2$$

Esempio:

7. $$(x+1)^3$$ Calcoliamo il cubo del primo termine: x³
   Calcoliamo il cubo del secondo termine: 1
   
   Calcoliamo tre volte il primo termine al quadrato per il secondo: 3(x²)(1) = 3x²
   Calcoliamo tre volte il secondo termine al quadrato per il primo: 3(1)(x) = 3x
   
   Uniamo i passaggi: $$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$$




8. $$(3x-2y)^3$$ Calcoliamo il cubo del primo termine: 27x³
   Calcoliamo il cubo del secondo termine: -8y³
   
   Calcoliamo tre volte il primo termine al quadrato per il secondo: 3(9x²)(-2y) = -54x²y
   Calcoliamo tre volte il secondo termine al quadrato per il primo: 3(4y²)(3x) = 36xy²
   
   Uniamo i passaggi: $$(3x -2y)^3 = 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3$$