Prodotto di potenze con lo stesso esponente

In matematica, quando si moltiplicano potenze con basi diverse ma con lo stesso esponente, la potenza risultante è data dal prodotto delle basi, elevate dallo stesso esponente iniziale. Questo concetto è espresso dalla seguente formula:

Se abbiamo due potenze di questo tipo a^m e b^m con basi diverse, ma stessi esponenti; il loro prodotto sarà uguale al prodotto delle loro basi: a^mb^m=(ab)^m. Ad esempio, consideriamo le seguenti potenze 2³ e  3³. Entrambe hanno lo stesso esponente (3) ma basi diverse (2 e 3). Applicando la regola del prodotto di potenze con lo stesso esponente, otteniamo \(2^33^3=(2\cdot3)^3=6^3=216\)

Proprietà e regole del Prodotto di Potenze con lo stesso esponente

L’operazione di prodotto di potenze con lo stesso esponente, segue alcune proprietà chiave:

• Mantenimento dell'esponente comune: quando le potenze hanno lo stesso esponente, l'esponente rimane invariato nel risultato.
• Moltiplicazione delle basi elevate allo stesso esponente: le basi delle potenze, elevate allo stesso esponente, vengono moltiplicate tra loro per ottenere il risultato finale.

Esempi di applicazione del Prodotto di Potenze con lo stesso esponente

Per comprendere meglio il prodotto di potenze con lo stesso esponente, consideriamo altri esempi:
\(2^3\cdot 5^3 = (2\cdot 5)^3=10^3=1000\)
\(3^2\cdot 4^2 = (3\cdot 4)^2=12^2=144\)
\(x^2)^3\cdot (y^2)^3 = (x)^6\cdot (y)^6 = (x\cdot y)^6=x^6y^6\)

Utilità del Prodotto di Potenze con lo stesso esponente

Questa regola trova applicazione in vari contesti matematici e pratici:

• Semplificazione di espressioni esponenziali: facilita la semplificazione di espressioni contenenti molteplici potenze con lo stesso esponente e basi diverse.
• Efficienza nei calcoli: permette di eseguire operazioni più complesse in modo più rapido e accurato.
• Applicazioni in problemi matematici e scientifici: è fondamentale per risolvere equazioni, esprimere leggi scientifiche e modellare situazioni reali.

Il prodotto di potenze con basi diverse e lo stesso esponente è una regola matematica fondamentale che si traduce nel prodotto delle basi elevate allo stesso esponente iniziale.