Il piano euclideo: enti geometrici fondamentali e notazione

Il piano euclideo è un ente geometrico fondamentale della geometria euclidea e in particolare della geometria euclidea piana, branca della Geometria che studia enti e figure piane, cioè in 2 dimensioni.

Di seguito si trattano gli enti geometrici fondamentali, concetti intuitivi, e qualche altro ente geometrico derivato che risulta però fondamentale nello sviluppo della geometria piana. Per quanto riguarda i postulati introdotti da Euclide nel suo "Elementi" si consiglia di consultare la pagina "Geometria euclidea piana: enti e postulati".

Enti geometrici fondamentali

Gli enti geometrici fondamentali, o enti primitivi, sono gli elementi fondanti della geometria euclidea: essi sono definiti intuitivamente e permettono di definire in maniera sistematica tutti gli altri enti geometrici. I tre enti primitivi sono i seguenti:

• il punto: unità adimensionale del piano
• la retta: linea di lunghezza infinita nel piano, o insieme infinito di punti allineati
• il piano: superficie piana di estensione infinita, o foglio infinito

In particolare nella geometria piana, cioè in 2 dimensioni, il piano viene a coincidere con il piano euclideo, l’ente geometrico che contiene tutti i punti e le rette oggetto di studio della geometria piana. Questo non è vero in 3 dimensioni, dove è ammessa l’esistenza di infiniti piani, poiché un punto può non appartenere ad uno specifico piano e una retta può intersecarlo in un punto o, addirittura, essergli parallela.

L’angolo: ente geometrico derivato

Oltre ai tre enti primitivi, si introduce un quarto ente derivato molto importante nella trattazione della geometria piana.

Date due semirette aventi la stessa origine, l’angolo è una delle parti in cui il piano viene suddiviso dalle semirette.

Dato che due semirette con la stessa origine dividono il piano in due parti, gli angoli ottenuti da questa operazione sono due e si rappresentano graficamente come segue:

Notazione per punti, rette, piani e angoli

Dal punto di vista della notazione, per gli enti geometrici elencati sopra si usano le seguenti convenzioni:

• punto: ogni punto viene etichettato con una lettera maiuscola dell’alfabeto, tipo A, B, C, …

• retta: una retta è rappresentata come una linea continua i cui estremi sono tratteggiati per indicarne la non finitezza, a differenza dei segmenti per esempio. Le rette vengono etichettate con una lettera minuscola dell’alfabeto, ad esempio r, t, s, …

• piano: il piano è solitamente rappresentato come un parallelogramma con i lati tratteggiati che, come nel caso della retta, ne indicano la non finitezza. I piani sono solitamente etichettati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco come \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), …

• angolo: un angolo è solitamente rappresentato come un arco e viene indicando con una sequenza di 3 lettere; si fissano 3 punti con il primo che appartiene alla prima semiretta, il secondo che coincide con l’origine delle due semirette e il terzo che appartiene alla seconda semiretta e si leggono in senso antiorario, ad esempio \(A\widehat{B}C\), \(B\widehat{C}A\), \(C\widehat{A}B\), …

Per approfondire la notazione degli angoli e altre loro proprietà, si consulti la pagina "Angoli nel piano euclideo".