Polinomio completo: definizione ed esempi
Un polinomio completo è un polinomio che contiene tutti i termini possibili fino al grado massimo del polinomio, ciascuno con un coefficiente diverso da zero. Questo significa che per un polinomio completo di grado n in una variabile, saranno presenti tutti i termini da xn fino a x0 (il termine costante).
Ad esempio, consideriamo un polinomio di terzo grado. Il polinomio completo associato sarà:
3x3 + 4x2 + x + 1
In un polinomio completo, non mancano termini; ogni potenza della variabile, fino al grado specificato, è rappresentata.
Per comprendere meglio cosa sia un polinomio completo, è utile confrontarlo con un polinomio incompleto. Un polinomio incompleto è un polinomio in cui uno o più termini che dovrebbero essere presenti (in base al grado massimo del polinomio) sono assenti.
Ad esempio, consideriamo i seguenti polinomi:
2x4 + 3x3 + 6x2 + 5x + 1: esso è un polinomio completo, infatti contiene tutti i termini possibili tra il suo grado maggiore e il grado zero.
2x4 + 6x2 + 1: esso non è un polinomio completo, in quanto non sono presenti tutti i termini possibili. In particolare, mancano i termini x3 e x, che invece sono presenti nel polinomio precedente.
Esempi di polinomi completi
Vediamo alcuni esempi concreti per chiarire ulteriormente il concetto di polinomio completo:
3x + 2 è un polinomio completo.
x2 + 2x non è un polinomio completo, infatti manca il termine di grado 0.
x3 + 3x2 + 5x + 2 è un polinomio completo
a2b + ab3 + 5 è un polinomio completo rispetto alla lettera a, ma non è completo rispetto alla lettera b, in quanto manca il termine b2.
ab3 + 2b2 + 7b + 3 è un polinomio completo rispetto alla lettera b, ma anche rispetto alla lettera a.