Polinomi

Si chiama polinomio qualsiasi monomio o espressione algebrica scritta come somma algebrica di monomi.

Esempio:

1. $$x+y^3$$

2. $$a^2+2$$

Come si può notare dalla definizione, ogni monomio può essere definito polinomio. Il motivo di questa affermazione sta nel fatto che il monomio può essere visto come la somma algebrica di se stesso con il monomio nullo.

Per esempio, il monomio x² può essere considerato come x² + 0 ovvero una somma algebrica di monomi e quindi un polinomio.

Nota: Ogni monomio presente in un polinomio prende il nome di termine del polinomio. Cioè nel caso dell’esempio [1] i termini del polinomio sono x e y³.

Polinomi ridotti in forma normale

Un polinomio si dice ridotto in forma normale se i suoi termini sono in forma normale e non sono simili tra di loro.

Esempio:

3. $$x+y^3+3$$ questo polinomio è ridotto in forma normale infatti i termini sono ridotti e non sono simili tra di loro.




4. $$x^3+y+4x^3+2x$$ questo polinomio non è ridotto, infatti sono presenti dei termini simili (in questo caso x³ e 4x³). Per ridurre il polinomio in forma normale basta semplicemente fare la somma algebrica dei termini simili, ottenendo il seguente polinomio ridotto: \(2x + 5x3 + y\)

Grado di un polinomio

Dato un polinomio ridotto in forma normale, non nullo, distinguiamo:

• Grado complessivo di un polinomio: il maggiore fra i gradi dei suoi termini
• Grado di un polinomio rispetto a una lettera: il massimo esponente con cui la lettera compare nel polinomio

Nota: Al polinomio nullo non viene assegnato alcun grado.

Nomi particolari polinomi

I polinomi ridotti in forma normale possono assumere nomi particolari a seconda del numero di termini da cui sono composti, in particolare distinguiamo:

• monomi: se composti da un termine
• binomi: se composti da due termini
• trinomi: se composti da tre termini
• quadrinomi: se composti da quattro termini

Polinomi omogenei

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.

Esempio:

5. $$2x^2+5x+y^2$$ è omogeneo, infatti x e y hanno entrambi grado 2




6. $$4x+y-2$$non è omogeneo, è vero che x e y hanno lo stesso grado, ma è presente un termine noto che ha grado 0

Polinomio ordinato

Un polinomio ridotto in forma normale si dice ordinato rispetto ad una certa lettera, se da sinistra a destra gli esponenti di quella lettera crescono (o decrescono).

Esempio:

7. $$x+x^3+2y^2+y$$ il polinomio secondo la lettera x è ordinato in ordine crescente, mentre secondo la lettera y è ordinato in ordine decrescente

Polinomio completo

Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera, se sono presenti tutte le potenze di quella lettera a partire dal grado massimo a quella di 0.

Esempio:

8. $$x^2+3x-1$$ è completo, infatti sono presenti tutti i gradi di x che vanno dal massimo (2) al grado 0.




9. $$5x^3+2x+3$$ non è completo, in quanto non sono presenti tutti i gradi di x che vanno dal massimo (3) al grado 0. In particolare in questo caso non è presente il grado 2 di x.




10. $$x^5-3x^2+x+2y^3+5y^2-3y+5$$ non è completo rispetto alla x (mancano i gradi 4 e 3), ma è completo rispetto alla y.

Polinomi uguali

Due polinomi ridotti in forma normale si dicono uguali, se i termini del primo polinomio sono rispettivamente uguali ai termini del secondo.

Nota: L’ordine dei termini non ha nessuna rilevanza

Esempio:

11. \( x^2+3x+2y\quad e \quad 2y+3x+x^2 \)   sono uguali

12. \(x^3+y\quad e \quad x^3+5y\)   non sono uguali

Polinomi opposti

Due polinomi ridotti in forma normale si dicono opposti, se i termini del primo polinomio sono rispettivamente opposti ai termini del secondo.

Nota: L’ordine dei termini non ha nessuna rilevanza

Esempio:

13. \( -y^2-2y\quad e \quad y^2+2y \)   sono opposti

14. \(x^2+5x-3y^2\quad e \quad x^2-3y^2+5x\)   non sono opposti, ma sono uguali

15. \(8x-x^2\quad e \quad 8x+x^2+2y\)   non sono né opposti né uguali