Triangolo di Tartaglia e potenza di un binomio
Il triangolo di Tartaglia è un triangolo composto da infiniti numeri naturali che prende il nome dal soprannome del matematico italiano Nicolò Fontana che per primo lo usò sistematicamente. Spesso viene anche chiamato triangolo di Pascal, dal nome del matematico francese Blaise Pascal.
Il triangolo di Tartaglia è importante perché permette di identificare lo sviluppo di qualsiasi potenza di un binomio. Per capire il legame che sussiste tra il triangolo di Tartaglia e la potenza di un binomio, proviamo ad analizzare i seguenti casi:
\( (A + B)^1 = A + B \)
\( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
\( (A+B)^5= A^5 + 5A^4B + 10A^3B^2 + 10A^2B^3+ 5AB^4 + B^5 \)
Possiamo notare che i coefficienti della potenza n-esima di un binomio coincidono con i numeri contenuti nella riga n+1 del triangolo. Ad esempio i coefficienti di \((A+B)^1\) corrispondono ai numeri contenuti nella seconda riga:
1 1
mentre i coefficienti di \( (A+B)^5 \) corrispondono ai numeri contenuti nella riga sei:
1 5 10 10 5 1
Potenza n-esima di un binomio
In particolare, lo sviluppo della potenza n-esima del binomio (A+B) corrisponde a un polinomio omogeneo di grado n, ordinato in maniera decrescente, partendo da il grado n per le potenze di A e crescenti, partendo da 0 per le potenze di B, i cui coefficienti corrispondono alla riga n+1 del triangolo di Tartaglia.
Proviamo a risolvere la seguente potenza di binomio: \( (A+B)^7 \)
Notiamo che andando a guardare i numeri contenuti nella riga 8 del triangolo di tartaglia troviamo i seguenti elementi (cioè i coefficienti dello sviluppo di potenza):
1 7 21 35 35 21 7 1
Scriviamo il polinomio ordinato secondo la regola specificata nella definizione precedente, ovvero un polinomio di grado n ordinato secondo le potenze decrescenti di A e crescenti di B.
$$a^7b^0 + a^6b^1 + a^5b^2 + a^4b^3 + a^3b^4 + a^2b^5 + a^1b^6 + a^0b^7$$
Possiamo ora unire i coefficienti con il polinomio ordinato trovando così lo sviluppo di potenza del binomio iniziale
\((A+B)^7 = 1a^7b^0 + 7a^6b^1 + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 +\) \(+ 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7a^1b^6 + 1a^0b^7\)