Operazioni in campo complesso

Nella pagina "Numeri complessi e campo complesso" è stato introdotto il campo complesso descrivendone gli elementi, le proprietà e, brevemente, le operazioni. In questa pagina si approfondiscono le operazioni che possono essere svolte in campo complesso e le rappresentazioni più consone da utilizzare per evitare lunghi conti.

Operazioni di somma e prodotto nel campo complesso

Siano dati i numeri complessi z1 = (a, b) e z2 = (c, d). In ℂ sono definite le operazioni di

  • somma: z1 + z2 = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
  • prodotto: z1z2 = (a, b)(c, d) = (ac-bd, bc+ad)

Unità immaginaria

L’elemento che caratterizza il campo complesso è l’unità immaginaria, definita come i ≔ (0, 1). La sua fondamentale proprietà è quella di restituire -1 se elevata al quadrato:i2 = (0, 1)(0, 1) = (0-1, 0+0) = (-1, 0)o, equivalentemente \(i ≔ \sqrt{-1}\)

Elementi caratterizzanti del campo complesso

Il campo complesso, in quanto campo, presenta degli elementi caratteristici:

  • elemento neutro rispetto alla somma (0,0)
  • elemento neutro rispetto al prodotto (1,0)
  • dato l’elemento (a,b), l’opposto rispetto alla somma è (-a,-b)
  • dato l’elemento (a,b), l’inverso rispetto al prodotto è \(\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)\) con a ≠ 0 ⋀ b ≠ 0 contemporaneamente
  • dato l’elemento z = (a,b), il coniugato di z, o complesso coniugato, è definito come \(\overline{z}\) ≔ (a,-b). Questo elemento presenta alcune importanti proprietà che sono enunciate nella pagina dedicata.

In particolare, usando la rappresentazione cartesiana, si può verificare l’espressione per l’elemento inverso come segue:\(\frac{1}{z} = \frac{1}{x+iy} = \frac{1}{x+iy} \cdot \frac{x-iy}{x-iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}\)dove sostanzialmente è stato usato il prodotto notevole (a+b)(a-b) = (a2-b2) per eseguire una simil razionalizzazione e rimuovere l’unità complessa dal denominatore, ricordando che i2 = -1. Infatti\((x+iy)(x-iy) = x^2-i^2 y^2 = x^2 + y^2\)

Operazioni con la rappresentazione cartesiana

z = x + iy

Nota: La rappresentazione cartesiana permette di svolgere facilmente operazioni di somma e complesso coniugato. Tuttavia si rivela parecchio complicata nelle operazione di prodotto, elevamento a potenza, radice n-esima; su queste ultime due operazioni non ci si dilunga perché inutilmente complicate.

Siano dati i numeri complessi z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2.

  • \(z_1 + z_2 = (x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)\)
  • \(z_1 - z_2 = (x_1 + iy_1) - (x_2 + iy_2) = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)\)
  • \(z_1z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) =\)
    \(= x_1x_2 + i^2y_1y_2 +i(y_1x_2 + y_2x_1) =\)
    \(= x_1x_2 - y_1y_2 + i(x_1y_2 + y_1x_2)\)
  • \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + i(- x_1 y_2 + y_1 x_2)}{x_2^2+y_2^2} \)
  • \(\overline{z_1} = x_1 - iy_1\)

Esempio 1: Si calcoli somma e differenza di z1 = 2 + 1i, z2 = -1 + 3i e il complesso coniugato di entrambi.\(z_1+z_2 = 2+(-1) + i(1+3) = 1 +4i\)\(z_1-z_2 = 2-(-1) + i(1-3) = 3 - 2i\)\(\overline{z_1} = 2 - 1i\)\(\overline{z_2} = -1 - 3i\)

Operazioni con la rappresentazione trigonometrica

\( z = r(cos\phi + i sin\phi) \)con r ∈ [0,+∞) e Φ ∈ [0,2𝜋) oppure Φ ∈ (-𝜋,𝜋]

Nota: La rappresentazione trigonometrica permette di svolgere facilmente operazioni di prodotto, complesso coniugato, elevamento a potenza, radice n-esima. Tuttavia si rivela parecchio complicata nell'operazione di somma e, in alcuni casi, nella rappresentazione grafica sul piano di Gauss.

Siano dati i numeri complessi\( z_1 = r_1 (cos\phi_1 + i sin\phi_1) \)\( z_2 = r_2 (cos\phi_2 + i sin\phi_2) \)

  • \(z_1 + z_2 = r_1 (cos\phi_1 + i sin\phi_1) + r_2 (cos\phi_2 + i sin\phi_2) =\)
    \(= [r_1 cos\phi_1 + r_2 cos\phi_2] + i [r_1 sin\phi_1 + r_2 sin\phi_2]\)
  • \(z_1 - z_2 = \dots = [r_1 cos\phi_1 - r_2 cos\phi_2] + i [r_1 sin\phi_1 - r_2 sin\phi_2]\)
  • \(z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos\phi_1 + i sin\phi_1) (cos\phi_2 + i sin\phi_2) =\) \(= r_1 r_2 [(cos\phi_1 cos\phi_2 + i^2 sin\phi_1 sin\phi_2) +\)
    \(+ i(cos\phi_1 sin\phi_2 + sin\phi_1 cos\phi_2)] =\)
    \(=r_1 r_2 [cos(\phi_1 + \phi_2)+i sin(\phi_1 + \phi_2) ] \)
    usando le formule trigonometriche per la somma degli angoli\(cos\phi_1 cos\phi_2 \mp sin\phi_1 sin\phi_2 = cos(\phi_1 \pm \phi_2)\) \(cos\phi_1 sin\phi_2 \pm sin\phi_1 cos\phi_2 = sin(\phi_1 \pm \phi_2)\)
  • \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \frac{cos\phi_1 + i sin\phi_1}{cos\phi_2 + i sin\phi_2} = \frac{r_1}{r_2} \frac{cos\phi_1 + i sin\phi_1}{cos\phi_2 + i sin\phi_2} \frac{cos\phi_2 - i sin\phi_2}{cos\phi_2 - i sin\phi_2} =\)\(= \frac{r_1}{r_2} \frac{(cos\phi_1 + i sin\phi_1)(cos\phi_2 - i sin\phi_2)}{cos^2\phi_2 - i^2 sin^2\phi_2} =\)\(= \frac{r_1}{r_2} \frac{[(cos\phi_1cos\phi_2 - i^2 sin\phi_1sin\phi_2)+ i (sin\phi_1cos\phi_2 - cos\phi_1sin\phi_2)]}{1} =\)\(= \frac{r_1}{r_2} [cos(\phi_1-\phi_2) + i sin(\phi_1-\phi_2)]\)
    usando la relazione fondamentale della trigonometria e le formule trigonometriche per la somma degli angoli enunciate sopra\(cos^2\phi + sin^2\phi = 1\)
  • \(\overline{z_1} = r_1 (cos(-\phi_1) + i sin(-\phi_1)) = r_1 (cos\phi_1 - i sin\phi_1)\)
  • \(z_1^n = r_1^n (cos\phi_1 + i sin\phi_1)^n = r_1^n [cos (n\phi_1) + i sin (n\phi_1)]\) con n ∈ ℕ, risultato che deriva dalla formula di De Moivre
  • \(z_1^{\frac{1}{n}} = r_1^{\frac{1}{n}} (cos\phi_1 + i sin\phi_1)^{\frac{1}{n}} =\)
    \(= r_1^{\frac{1}{n}} [cos(\frac{\phi_1+2\pi k}{n}) + i sin(\frac{\phi_1+2\pi k}{n})]\) con n ∈ ℕ+, k ∈ ℤ

Il fatto che per la radice n-esima di un numero complesso occorre tenere conto della periodicità (indice k) discende dal fatto che non è possibile, in campo complesso, definire univocamente la radice n-esima di un numero: in Analisi Complessa si dice che la funzione radice è polidroma, ossia è una funzione a più valori.

Esempio 2: Si calcoli la radice terza di z1 = i.\( \sqrt[3]{i} = i^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} [cos(\frac{\pi}{2}+2\pi k) + i sin(\frac{\pi}{2}+2\pi k)]^{\frac{1}{3}} =\)
\(= cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}) + i sin(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}) \)
Poniamo ora k = 0, poi k = 1, eccetera.\( \sqrt[3]{i} = \left\{\begin{array}{@{}l@{}l}cos\frac{\pi}{6} + i sin\frac{\pi}{6} \quad k=0,3,6,\dots \\ cos\frac{5\pi}{6} + i sin\frac{5\pi}{6} \quad k=1,4,7,\dots \\cos\frac{9\pi}{6} + i sin\frac{9\pi}{6} \quad k=2,5,8,\dots\end{array}\right.\,\)poichè \(k=3, \quad cos\frac{13\pi}{6}=cos(\frac{\pi}{6} + 2\pi) = cos\frac{\pi}{6}, \quad k = 0\)Ciò avviene analogamente per il seno, anche lui con periodicità 2𝜋, e al variare di k, k > 3, si ritrovano periodicamente le stesse radici. Abbiamo trovato quindi tre radici terze del numero complesso i.

Esempio 3: Si calcoli il prodotto tra i seguenti numeri complessi\( z_1 = -2 = 2 (cos\pi + i sin\pi) \)\( z_2 = 3i = 3 (cos\frac{\pi}{2} + i sin\frac{\pi}{2}) \)\(z_1 z_2 = 2\cdot 3 [cos(\pi + \frac{\pi}{2}) + i sin(\pi + \frac{\pi}{2})] =\)
\(= 6 (cos\frac{3\pi}{2}+ i sin\frac{3\pi}{2}) = -6i\)

Esempio 4: Si calcoli il prodotto tra z e \(\overline{z}\) con z = (r,Φ).\(z \overline{z} = r r e^{i\phi} e^{-i\phi} = r^2 e^{i(\phi-\phi)} = r^2 = |z|^2\)

Operazioni con la rappresentazione esponenziale

\( z = re^{i\phi} \)con r ∈ [0,+∞) e Φ ∈ [0,2𝜋) oppure Φ ∈ (-𝜋,𝜋] e con la formula di Eulero \(e^{i\phi} = cos\phi + i sin\phi \)

Nota: La rappresentazione esponenziale permette di svolgere facilmente operazioni di prodotto, complesso coniugato, elevamento a potenza, radice n-esima. Tuttavia si rivela parecchio complicata nell'operazione di somma e, in alcuni casi, nella rappresentazione grafica sul piano di Gauss.

Siano dati i numeri complessi\( z_1 = r_1 e^{i\phi_1} \)\( z_2 = r_2 e^{i\phi_2} \)

  • \(z_1 + z_2 = r_1 e^{i\phi_1} + r_2 e^{i\phi_2} = \dots \)
  • \(z_1 - z_2 = r_1 e^{i\phi_1} - r_2 e^{i\phi_2} = \dots \)
  • \(z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i\phi_1} e^{i\phi_2} = r_1 r_2 e^{i(\phi_1+\phi_2)}\) per proprietà delle potenze
  • \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \frac{e^{i\phi_1}}{e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i\phi_1} e^{-i\phi_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\phi_1-\phi_2)}\)
  • \(\overline{z_1} = r_1 e^{-i\phi_1} \)
  • \(z_1^n = r_1^n {e^{i\phi_1}}^n = r_1^n e^{in\phi_1}\) con n ∈ ℕ
  • \(z_1^{\frac{1}{n}} = r_1^{\frac{1}{n}} {e^{i(\phi_1+ 2\pi k)}}^{\frac{1}{n}} = r_1^{\frac{1}{n}} e^{i\frac{\phi_1+ 2\pi k}{n}}\) con n ∈ ℕ+, k ∈ ℤ

Con periodicità (indice k) da tenere in conto perché, come si è detto sopra, in campo complesso non si può definire univocamente la radice n-esima di un numero.

Esempio 5: Si calcolino la potenza seconda di i.
Dalla rappresentazione cartesiana di i = 0 + 1i, passiamo alla rappresentazione trigonometrica usando gli angoli notevoli di seno e coseno: \(i = cos\frac{\pi}{2} + i sin\frac{\pi}{2} \)e tramite la formula di Eulero passiamo alla rappresentazione esponenziale\(i = e^{i\frac{\pi}{2}} \)\(i^2 = e^{i2\frac{\pi}{2}} = e^{i\pi} = cos\pi + i sin\pi = -1\)

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