Operazioni in campo complesso

Nella pagina "Numeri complessi e campo complesso" è stato introdotto il campo complesso descrivendone gli elementi, le proprietà e, brevemente, le operazioni. In questa pagina si approfondiscono le operazioni che possono essere svolte in campo complesso e le rappresentazioni più consone da utilizzare per evitare lunghi conti. 

Operazioni di somma e prodotto nel campo complesso

Siano dati i numeri complessi z₁ = (a,b) e z₂ = (c,d). In ℂ sono definite le operazioni di 

• somma: z₁ + z₂ = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)

• prodotto: z₁z₂ = (a,b)(c,d) = (ac-bd,bc+ad)

Unità immaginaria

L’elemento che caratterizza il campo complesso è l’unità immaginaria, definita come i ≔ (0,1). La sua fondamentale proprietà è quella di restituire -1 se elevata al quadrato:

i² = (0,1)(0,1) = (0-1,0+0) = (-1,0)

o, equivalentemente:

i ≔ -1

Elementi caratterizzanti del campo complesso

Il campo complesso, in quanto campo, presenta degli elementi caratteristici:

• elemento neutro rispetto alla somma (0,0)

• elemento neutro rispetto al prodotto (1,0)

• dato l’elemento (a,b), l’opposto rispetto alla somma è (-a,-b)

• dato l’elemento (a,b), l’inverso rispetto al prodotto è \(\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)\) con a ≠ 0 ⋀ b ≠ 0 contemporaneamente

• dato l’elemento z = (a,b), il coniugato di z, o complesso coniugato, è definito come \(\overline{z}\) ≔ (a,-b). Questo elemento presenta alcune importanti proprietà che sono enunciate nella pagina dedicata.

In particolare, usando la rappresentazione cartesiana, si può verificare l’espressione per l’elemento inverso come segue:

\(\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy} = \frac{1}{x+iy} \cdot\frac{x-iy}{x-iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\)

dove sostanzialmente è stato usato il prodotto notevole (a+b)(a-b) = (a²-b²) per eseguire una simil razionalizzazione e rimuovere l’unità complessa dal denominatore, ricordando che i² = -1. Infatti:

\((x+iy)(x-iy) = x^2-i^2 y^2 = x^2 + y^2\)

Operazioni con la rappresentazione cartesiana

z = x + iy

Nota: La rappresentazione cartesiana permette di svolgere facilmente operazioni di somma e complesso coniugato. Tuttavia si rivela parecchio complicata nelle operazione di prodotto, elevamento a potenza, radice n-esima; su queste ultime due operazioni non ci si dilunga perché inutilmente complicate.

Siano dati i numeri complessi z₁ = x₁ + iy₁ e z₂ = x₂ + iy₂.

• \begin{equation*} \begin{aligned} z_1 + z_2 & = (x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2)\\ & = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) \end{aligned} \end{equation*}

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1 - z_2 & = (x_1 + iy_1) - (x_2 + iy_2)\\ & = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2) \end{aligned}\end{equation*}

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1 z_2 & = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2)\\ & = x_1 x_2 + i^2 y_1 y_2 +i(y_1 x_2 + y_2 x_1)\\ & = x_1 x_2 - y_1 y_2 + i(x_1 y_2 + y_1 x_2) \end{aligned}\end{equation*}

• \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + i(- x_1 y_2 + y_1 x_2)}{x_2^2+y_2^2} \)

• \(\overline{z_1} = x_1 - iy_1\)

Esempio 1: Si calcoli somma e differenza di z₁ = 2 + 1i, z₂ = -1 + 3i e il complesso coniugato di entrambi.

z₁+z₂ = 2+(-1) + i(1+3) = 1 +4i

z₁-z₂ = 2-(-1) + i(1-3) = 3 - 2i

\(\overline{z_1} = 2 - 1i\) 

\(\overline{z_2} = -1 - 3i\)

Operazioni con la rappresentazione trigonometrica

\( z = r(cos\phi + i sin\phi) \)

con r ∈ [0,+∞) e Φ ∈ [0,2𝜋) oppure Φ ∈ (-𝜋,𝜋]

Nota: La rappresentazione trigonometrica permette di svolgere facilmente operazioni di prodotto, complesso coniugato, elevamento a potenza, radice n-esima. Tuttavia si rivela parecchio complicata nell'operazione di somma e, in alcuni casi, nella rappresentazione grafica sul piano di Gauss.

Siano dati i numeri complessi:

\( z_1 = r_1 (cos\phi_1 + i sin\phi_1) \)

\( z_2 = r_2 (cos\phi_2 + i sin\phi_2) \)

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1 + z_2 & = r_1 (cos\phi_1 + i sin\phi_1) + r_2 (cos\phi_2 + i sin\phi_2)\\ & = [r_1 cos\phi_1 + r_2 cos\phi_2] + i [r_1 sin\phi_1 + r_2 sin\phi_2] \end{aligned}\end{equation*}

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1 - z_2 & = \dots\\ & = [r_1 cos\phi_1 - r_2 cos\phi_2] + i [r_1 sin\phi_1 - r_2 sin\phi_2] \end{aligned}\end{equation*}

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1 z_2 & = r_1 r_2 (cos\phi_1 + i sin\phi_1) (cos\phi_2 + i sin\phi_2)\\ & =  r_1 r_2 [(cos\phi_1 cos\phi_2 + i^2 sin\phi_1 sin\phi_2)\\ & \quad +i(cos\phi_1 sin\phi_2 + sin\phi_1 cos\phi_2)]\\ & = r_1 r_2 [cos(\phi_1 + \phi_2)+i sin(\phi_1 + \phi_2)] \end{aligned}\end{equation*}

  usando le formule trigonometriche per la somma degli angoli:

  \(cos\phi_1 cos\phi_2 \mp sin\phi_1 sin\phi_2 = cos(\phi_1 \pm \phi_2)\) 

  \(cos\phi_1 sin\phi_2 \pm sin\phi_1 cos\phi_2 = sin(\phi_1 \pm \phi_2)\) 

• \begin{equation*}\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} & = \frac{r_1}{r_2} \frac{cos\phi_1 + i sin\phi_1}{cos\phi_2 + i sin\phi_2}\\ & = \frac{r_1}{r_2} \frac{cos\phi_1 + i sin\phi_1}{cos\phi_2 + i sin\phi_2} \frac{cos\phi_2 - i sin\phi_2}{cos\phi_2 - i sin\phi_2}\\ & = \frac{r_1}{r_2} \frac{(cos\phi_1 + i sin\phi_1)(cos\phi_2 - i sin\phi_2)}{cos^2\phi_2 - i^2 sin^2\phi_2}\\ & = \frac{r_1}{r_2} \frac{[(cos\phi_1cos\phi_2 - i^2  sin\phi_1sin\phi_2)+ i (sin\phi_1cos\phi_2 - cos\phi_1sin\phi_2)]}{1}\\ & = \frac{r_1}{r_2} [cos(\phi_1-\phi_2) + i sin(\phi_1-\phi_2)] \end{aligned}\end{equation*}

  usando la relazione fondamentale della trigonometria e le formule trigonometriche per la somma degli angoli enunciate sopra:

  \(cos^2\phi + sin^2\phi = 1\) 

• \begin{equation*}\begin{aligned} \overline{z_1} & = r_1 (cos(-\phi_1) + i sin(-\phi_1))\\ & = r_1 (cos\phi_1 - i sin\phi_1) \end{aligned}\end{equation*}

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1^n & = r_1^n (cos\phi_1 + i sin\phi_1)^n\\ & = r_1^n [cos (n\phi_1) + i sin (n\phi_1)] \end{aligned}\end{equation*} con n ∈ ℕ, risultato che deriva dalla formula di De Moivre

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1^{\frac{1}{n}} & = r_1^{\frac{1}{n}} (cos\phi_1 + i sin\phi_1)^{\frac{1}{n}}\\ & = r_1^{\frac{1}{n}} \left[cos\left(\frac{\phi_1+2\pi k}{n}\right) + i sin\left(\frac{\phi_1+2\pi k}{n}\right)\right] \end{aligned}\end{equation*} con n ∈ ℕ⁺, k ∈ ℤ

Il fatto che per la radice n-esima di un numero complesso occorre tenere conto della periodicità (indice k) discende dal fatto che non è possibile, in campo complesso, definire univocamente la radice n-esima di un numero: in Analisi Complessa si dice che la funzione radice è polidroma, ossia è una funzione a più valori.

Esempio 2: Si calcoli la radice terza di z₁ = i.

\begin{equation*}\begin{aligned} \sqrt[3]{i} = i^{\frac{1}{3}} & = 1^{\frac{1}{3}} \left[cos\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) + i sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)\right]^{\frac{1}{3}}\\ & = cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}\right) + i sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}\right) \end{aligned}\end{equation*}

Poniamo ora k = 0, poi k = 1, eccetera.

\( \sqrt[3]{i} = \left\{\begin{array}{@{}l@{}l} cos\frac{\pi}{6} + i sin\frac{\pi}{6} \quad k=0,3,6,\dots \\  cos\frac{5\pi}{6} + i sin\frac{5\pi}{6} \quad k=1,4,7,\dots \\ cos\frac{9\pi}{6} + i sin\frac{9\pi}{6} \quad k=2,5,8,\dots \end{array}\right.\, \)

poichè:

\(k=3, \quad cos\frac{13\pi}{6}=cos(\frac{\pi}{6} + 2\pi) = cos\frac{\pi}{6}, \quad k = 0\)

Ciò avviene analogamente per il seno, anche lui con periodicità 2𝜋, e al variare di k, k > 3, si ritrovano periodicamente le stesse radici. Abbiamo trovato quindi tre radici terze del numero complesso i.

Esempio 3: Si calcoli il prodotto tra i seguenti numeri complessi:

\( z_1 = -2 = 2 (cos\pi + i sin\pi) \)

\( z_2 = 3i = 3 (cos\frac{\pi}{2} + i sin\frac{\pi}{2}) \)

\begin{equation*}\begin{aligned} z_1 z_2 & = 2\cdot 3 \left[cos\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right) + i sin\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right)\right]\\  & = 6 \left(cos\frac{3\pi}{2}+ i sin\frac{3\pi}{2}\right) = -6i \end{aligned}\end{equation*}

Esempio 4: Si calcoli il prodotto tra z e \(\overline{z}\) con z = (r,Φ).

\begin{equation*}\begin{aligned} z \overline{z} &= r r e^{i\phi} e^{-i\phi}\\ & = r^2 e^{i(\phi-\phi)}\\ & = r^2 = |z|^2 \end{aligned}\end{equation*}

Operazioni con la rappresentazione esponenziale

\( z = re^{i\phi} \)

con r ∈ [0,+∞) e Φ ∈ [0,2𝜋) oppure Φ ∈ (-𝜋,𝜋]

e con la formula di Eulero:

\(e^{i\phi} = cos\phi + i sin\phi \)

Nota: La rappresentazione esponenziale permette di svolgere facilmente operazioni di prodotto, complesso coniugato, elevamento a potenza, radice n-esima. Tuttavia si rivela parecchio complicata nell'operazione di somma e, in alcuni casi, nella rappresentazione grafica sul piano di Gauss.

Siano dati i numeri complessi

\( z_1 = r_1 e^{i\phi_1} \)

\( z_2 = r_2 e^{i\phi_2} \)

• \(z_1 + z_2 = r_1 e^{i\phi_1} + r_2 e^{i\phi_2} = \dots \)

• \(z_1 - z_2 =  r_1 e^{i\phi_1} - r_2 e^{i\phi_2} = \dots \)

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1 z_2 & = r_1 r_2 e^{i\phi_1} e^{i\phi_2}\\ & =  r_1 r_2 e^{i(\phi_1+\phi_2)} \end{aligned}\end{equation*} per proprietà delle potenze

• \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \frac{e^{i\phi_1}}{e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i\phi_1} e^{-i\phi_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\phi_1-\phi_2)}\)

• \(\overline{z_1} = r_1 e^{-i\phi_1} \) 

• \(z_1^n = r_1^n {e^{i\phi_1}}^n = r_1^n e^{in\phi_1}\) con n ∈ ℕ

• \begin{equation*}\begin{aligned} z_1^{\frac{1}{n}} & = r_1^{\frac{1}{n}} {e^{i(\phi_1+ 2\pi k)}}^{\frac{1}{n}}\\ & = r_1^{\frac{1}{n}} e^{i\frac{\phi_1+ 2\pi k}{n}} \end{aligned}\end{equation*} con n ∈ ℕ⁺, k ∈ ℤ

Con periodicità (indice k) da tenere in conto perché, come si è detto sopra, in campo complesso non si può definire univocamente la radice n-esima di un numero.

Esempio 5:  Si calcolino la potenza seconda di i.

Dalla rappresentazione cartesiana di i = 0 + 1i, passiamo alla rappresentazione trigonometrica usando gli angoli notevoli di seno e coseno: 

\(i = cos\frac{\pi}{2} + i sin\frac{\pi}{2} \)

e tramite la formula di Eulero passiamo alla rappresentazione esponenziale:

\(i = e^{i\frac{\pi}{2}} \)

\(i^2 = e^{i2\frac{\pi}{2}} = e^{i\pi} = cos\pi + i sin\pi = -1\)