Potenza di un monomio
La potenza di un monomio è data da un monomio che ha come coefficiente la potenza del coefficiente iniziale e come parte letterale il prodotto tra i suoi esponenti e l’esponente della potenza. A differenza del caso della somma algebrica in cui i monomi devono essere simili, l’operazione di potenza di un monomio può essere calcolata per qualsiasi tipo di monomio. In particolare il calcolo della potenza di un monomio si basa sulle proprietà delle potenze, più specificamente sulla proprietà di potenza di potenza.
L’elevamento a potenza di un monomio restituisce un monomio solo se l’esponente utilizzato risulta essere un numero naturale.
Nota: la potenza con esponente 1 di un monomio è il monomio stesso, mentre la potenza con esponente 0 di un monomio non nullo vale 1. L’unico caso in cui non è definita l’operazione di potenza di un monomio è dato da 00.
Esempio potenza di un monomio
Di seguito vengono riportati alcuni esempi di elevamento a potenza di monomi.
Esempio 1:
Consideriamo il seguente elevamento a potenza:\( (2a^2)^3 \)Per poter eseguire correttamente l’operazione di potenza, dividiamo il coefficiente dalla parte letterale usando la proprietà delle potenze:\( (2a^2)^3 = (2)^3(a^2)^3 \)In questo modo risulta essere più evidente quali calcoli bisogna eseguire, infatti il coefficiente è dato da un semplice elevamento a potenza di un numero, mentre per la parte letterale facciamo affidamento alla proprietà di potenza di potenza ottenendo il seguente monomio:\( (2a^2)^3 = (2)^3(a^2)^3 = 8a^6\)
Esempio 2:
Consideriamo il seguente monomio costituito da più lettere:\( (-xy^3z^2)^2 \)Come è stato fatto nell'esempio precedente, è possibile utilizzare le proprietà delle potenze per ottenere il prodotto delle potenze dei singoli fattori:\( (-xy^3z^2)^2 = (-x)^2(y^3)^2(z^2)^2\)In questo modo potrebbe risultare più evidente come calcolare la potenza del monomio.\( (-xy^3z^2)^2 = (-x)^2(y^3)^2(z^2)^2 = x^2y^6z^4\)
Esempio 3:
In questo esempio, invece, eseguiamo la potenza della somma algebrica di due monomi:\( (-\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}x)^3 \)Prima di poter effettuare l’elevamento a potenza, bisogna eseguire la somma algebrica dei due monomi iniziali:\( -\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}x = \frac{-3+4}{6}x = \frac{1}{6}x\)A questo punto possiamo calcolare la potenza del monomio:\( (-\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}x)^3 = (\frac{1}{6}x)^3 = \frac{1}{216}x^3\)