Definizione di insiemi

In matematica, un insieme è una raccolta di elementi numerici o concettuali individuabile tramite una proprietà comune degli elementi o semplicemente per elencazione degli stessi.

Nel caso di una caratteristica che accomuna gli elementi di un insieme questa deve essere oggettiva per garantire l’univocità dell’insieme: in ambito matematico non posso definire l’insieme “canzoni che mi piacciono” poiché soggettivo e variabile da persona a persona mentre posso definire l’insieme “numeri naturali dispari” e riferirmi univocamente ad un preciso insieme.

NOTA: tutti gli elementi di un insieme devono essere distinti fra loro.

Utilizzando un diagramma di Venn forniamo una rappresentazione delle essenziali caratteristiche di un insieme:

Insiemi finiti e infiniti

Gli insiemi si possono suddividere, a seconda del numero di elementi che essi contengono, in insiemi finiti e insiemi infiniti che rispettivamente, come suggeriscono i nomi, presentano un numero finito o infinito di elementi.

Esempio 1: gli insiemi dei numeri naturali ℕ, dei numeri interi ℤ, dei numeri razionali ℚ e dei numeri reali ℝ sono tutti insiemi infiniti per loro definizione.

Esempio 2: l’insieme di tutti i numeri naturali strettamente minori di 10000, per quanti elementi possa avere, è un insieme finito; in particolare questo insieme presenta 10000 elementi, da 0 a 9999.

Esempio 3: l’insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 è un insieme infinito di elementi. La differenza rispetto all’esempio 2 risiede nelle diverse proprietà che caratterizzano l’insieme ℕ e ℝ e precisamente riguarda la proprietà di densità di un insieme, ma questo è argomento di un’altra lezione.

Tra gli insiemi è ammesso anche l’insieme vuoto ∅ ossia l’insieme che non contiene alcun elemento. Un altro particolare insieme è l’insieme unitario ossia l’insieme composto da un singolo elemento.

NOTA: Si noti come ogni elemento di un insieme può essere considerato a sua volta un insieme; riducendo tutte le variabili ad uno stesso tipo, ovvero ad insiemi, risulta agevolata una trattazione più dettagliata (teoria assiomatica degli insiemi).