Massimo e minimo di un insieme
Sia A ⊆ X un insieme non vuoto:
- un elemento M ∈ X si dice massimo di A, M = maxA, se rispetta queste condizioni:
- M ∈ A ;
- ∀ x ∈ A, M ≥ x , ovvero l’insieme deve essere superiormente limitato (cioè M è un maggiorante).
- un elemento m ∈ X si dice minimo di A, m = minA, se rispetta queste condizioni:
- m ∈ A ;
- ∀ x ∈ A, m ≤ x , ovvero l’insieme deve essere inferiormente limitato (cioè m è un minorante).
NOTA: Di maggioranti e minoranti ce ne possono essere un’infinità come nessuno mentre non possono esserci più di un massimo e di un minino per un singolo insieme.
DIMOSTRAZIONE: Sia A ⊆ X un insieme non vuoto, siano m, n due minimi di A ⇒
- m, n ∈ A per definizione di minimo;
- sempre per definizione ∀ x ∈ A, x ≥ m ⋀ x ≥ n ; tuttavia per la 1) anche m, n ∈ A e quindi la condizione diventa (m ≥ m ⋀ m ≥ n) ⋀ (n ≥ m ⋀ n ≥ n) ⇒ m ≥ n ⋀ n ≥ m ⇒ n = m per la proprietà antisimmetrica, ovvero il minimo è unico, se esiste.
Analogamente è possibile verificare la stessa proprietà anche per il massimo.
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