Massimo e minimo di un insieme

Sia A ⊆ X un insieme non vuoto:

• un elemento M ∈ X si dice massimo di A, M = maxA, se rispetta queste condizioni:

  1. M ∈ A ;

  2. ∀ x ∈ A, M ≥ x , ovvero l’insieme deve essere superiormente limitato (cioè M è un maggiorante).

• un elemento m ∈ X si dice minimo di A, m = minA,  se rispetta queste condizioni:

  1. m ∈ A ;

  2. ∀ x ∈ A, m ≤ x , ovvero l’insieme deve essere inferiormente limitato (cioè m è un minorante).

Nota: Di maggioranti e minoranti ce ne possono essere un’infinità come nessuno mentre non possono esserci più di un massimo e di un minino per un singolo insieme. 

Dimostrazione: Sia A ⊆ X un insieme non vuoto, siano m, n due minimi di A ⇒

1. m, n ∈ A per definizione di minimo;

2. sempre per definizione ∀ x ∈ A, x ≥ m ⋀ x ≥ n ; tuttavia per la 1) anche m, n ∈ A e quindi la condizione diventa

(m ≥ m ⋀ m ≥ n) ⋀ (n ≥ m ⋀ n ≥ n) ⇒ m ≥ n ⋀ n ≥ m ⇒ n = m

per la proprietà antisimmetrica, ovvero il minimo è unico, se esiste.

Analogamente è possibile verificare la stessa proprietà anche per il massimo.