Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme

Sia A ⊆ X un insieme non vuoto:

  • Si definisce estremo superiore di A, supA, il minore dei maggioranti di A, se esiste. In notazione: supA = min{k | k ∈ X ⋀ k maggiorante di A} dove l’insieme indicato con le graffe rappresenta tutti i maggioranti di A. Usiamo "min" per trovare il più piccolo tra i maggioranti.

  • Si definisce estremo inferiore di A, infA, il maggiore dei minoranti di A, se esiste.

In notazione: infA = max{t | t ∈ X ⋀ t minorante di A} dove l’insieme indicato con le graffe rappresenta tutti i minoranti di A. Usiamo "max" per trovare il più grande tra i minoranti.

Note: 

  1. Se ∃ supA o infA ⇒ sono unici (è verificabile sulla falsa riga della Prova per l’unicità del minimo).

  2. Se ∃ maxA ⇒  ∃ supA ⋀ maxA = supA, equivalentemente se ∃ minA ⇒ ∃ infA ⋀ minA = infA, ovvero se esistono massimo e minimo saranno anche estremo superiore e inferiore rispettivamente. 

  3. Se ∃ supA ⋀ supA ∈ A ⇒ ∃ maxA ⋀ maxA = supA, equivalentemente se ∃ infA ⋀ infA ∈ A ⇒ ∃ minA ⋀ minA = infA.

Sia ℝ l’insieme dei numeri reali:

  • Se A ⊂ ℝ non è limitato superiormente si scrive supA = +∞; 

  • Se A ⊂ ℝ non è limitato inferiormente si scrive infA = -∞. 

Esempio 1: Riportiamo nella seguente tabella le caratteristiche per alcuni insiemi numerici, sottoinsiemi di X ≔ ℝ. Si ricordi che con ∅ si indica l’assenza di elementi, cioè l’insieme vuoto, e che l’estremo superiore o inferiore equivale rispettivamente a massimo o minimo, se esistono, oppure al più piccolo elemento dell’insieme dei maggioranti o minoranti, se non vuoti.





Insieme

Maggioranti

Minoranti

maxA

minA

{x | x ≤ 0}

{0}

{1, ½, ⅓, …, 1/n}

con n ≠ 0 ⋀ n ∈ ℕ

{x | x ≥ 1}

{x | x ≤ 0} 

{1}

{x ∈ ℝ | x2 > 4}

{x ∈ ℚ+0 | x2 < 2}

{x | x ≥ 2} 

{x | x ≤ 0}

{0}

Per l’ultima riga con ℚ+0 ci si riferisce all’insieme dei numeri razionali maggiori o uguali a 0 e dato che l’estremo superiore è2 ∉ ℚ,  non avremo un massimo per questo insieme.

In particolare si definisce un insieme ordinato X bene ordinato se ∀ A ⊆ X, non vuoto, ∃ m ∈ A | ∀ a ∈ A, m ≤ a. Questa definizione equivale a dire che ogni sottoinsieme non vuoto di X ammette un minimo.

Teorema: Un insieme bene ordinato implica che tale insieme sia totalmente ordinato.

Dimostrazione: Se un insieme X, non vuoto, è bene ordinato qualsiasi suo sottoinsieme è a sua volta ordinato. Prendiamo quindi x, y ∈ X qualsiasi: abbiamo un sottoinsieme {x, y} di due elementi che, per ipotesi di X bene ordinato, ammette un minimo. Che sia x ≤ y ⋁ x ≥ y abbiamo che questi due elementi sono confrontabili ed essendo arbitrari ciò vale per tutto X.