Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme
Sia A ⊆ X un insieme non vuoto:
- Si definisce estremo superiore di A, supA, il minore dei maggioranti di A, se esiste.
In notazione: supA = min{k | k ∈ X ⋀ k maggiorante di A} dove l’insieme indicato con le graffe rappresenta tutti i maggioranti di A. Usiamo “min” per trovare il più piccolo tra i maggioranti. - Si definisce estremo inferiore di A, infA, il maggiore dei minoranti di A, se esiste.
In notazione: infA = max{t | t ∈ X ⋀ t minorante di A} dove l’insieme indicato con le graffe rappresenta tutti i minoranti di A. Usiamo “max” per trovare il più grande tra i minoranti.
NOTE:
- Se ∃ supA o infA ⇒ sono unici (è verificabile sulla falsa riga della Prova per l’unicità del minimo).
- Se ∃ maxA ⇒ ∃ supA ⋀ maxA = supA, equivalentemente se ∃ minA ⇒ ∃ infA ⋀ minA = infA, ovvero se esistono massimo e minimo saranno anche estremo superiore e inferiore rispettivamente.
- Se ∃ supA ⋀ supA ∈ A ⇒ ∃ maxA ⋀ maxA = supA, equivalentemente se ∃ infA ⋀ infA ∈ A ⇒ ∃ minA ⋀ minA = infA.
Sia ℝ l’insieme dei numeri reali:
- Se A ⊂ ℝ non è limitato superiormente si scrive supA = +∞;
- Se A ⊂ ℝ non è limitato inferiormente si scrive infA = -∞.
Esempio 1: Riportiamo nella seguente tabella le caratteristiche per alcuni insiemi numerici, sottoinsiemi di X ≔ ℝ. Si ricordi che con ∅ si indica l’assenza di elementi, cioè l’insieme vuoto, e che l’estremo superiore o inferiore equivale rispettivamente a massimo o minimo, se esistono, oppure al più piccolo elemento dell’insieme dei maggioranti o minoranti, se non vuoti.
| Insieme | Maggioranti | Minoranti | maxA | minA |
| ℕ | ∅ | {x | x ≤ 0} | ∄ | {0} |
| ℤ | ∅ | ∅ | ∄ | ∄ |
| {1, \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{3} \), …, \( \frac{1}{n} \)} con n ≠ 0 ⋀ n ∈ ℕ | {x | x ≥ 1} | {x | x ≤ 0} | {1} | ∄ |
| {x ∈ ℝ | x2 > 4} | ∅ | ∅ | ∄ | ∄ |
| {x ∈ ℚ+0 | x2 < 2} | {x | x ≥ \( \sqrt{2} \)} | {x | x ≤ 0} | ∄ | {0} |
Per l’ultima riga con ℚ+0 ci si riferisce all’insieme dei numeri razionali maggiori o uguali a 0 e dato che l’estremo superiore è \( \sqrt{2} \) ∉ ℚ, non avremo un massimo per questo insieme.
In particolare si definisce un insieme ordinato X bene ordinato se ∀ A ⊆ X, non vuoto, ∃ m ∈ A | ∀ a ∈ A, m ≤ a. Questa definizione equivale a dire che ogni sottoinsieme non vuoto di X ammette un minimo.
TEOREMA: Un insieme bene ordinato implica che tale insieme sia totalmente ordinato.
DIMOSTRAZIONE: Se un insieme X, non vuoto, è bene ordinato qualsiasi suo sottoinsieme è a sua volta ordinato. Prendiamo quindi x, y ∈ X qualsiasi: abbiamo un sottoinsieme {x, y} di due elementi che, per ipotesi di X bene ordinato, ammette un minimo. Che sia x ≤ y ⋁ x ≥ y abbiamo che questi due elementi sono confrontabili ed essendo arbitrari ciò vale per tutto X.