Relazioni binarie e i loro grafici
Si consiglia di avere ben chiari i concetti di coppia ordinata (x,y) e la definizione di prodotto cartesiano spiegati alle pagine indicate.
Riassumendo brevemente si ricordi come, in generale, (x,y) ≠ (y,x) ovvero in una coppia ordinata l’ordine è fondamentale. Dati due insiemi possiamo definire il prodotto cartesiano come l’insieme di tutte le coppie ordinate costruibili con gli elementi dei due insiemi, rispettando sempre la condizione di ordinamento: tale condizione è il motivo per cui l’operazione di prodotto cartesiano non è commutativa.
Dati due insiemi non vuoti A e B si definisce una relazione binaria r tra gli elementi a ∈ A e gli elementi b ∈ B un predicato binario r(a,b) nelle suddette variabili; a e b sono in relazione tra loro solo se r predicato è vero.
Sia inoltre ℜ ⊆ A x B, sottoinsieme del prodotto cartesiano, definito come segue: ℜ ≔ {(a,b) | (a,b) ∈ A × B ⋀ r(a,b)}
ovvero tutte le coppie dell’insieme prodotto cartesiano di A per B per cui la relazione r risulta vera. ℜ viene detto grafico della relazione r e quindi, per indicare che due elementi a e b sono legati da r, si scrive (a,b) ∈ ℜ.
Viceversa dato ℜ ⊆ A × B risulta individuabile una r tale che r(a.b) ⇔ (a,b) ∈ ℜ: ovvero la relazione è verificata nella coppia in considerazione solo se tale coppia appartiene al grafico della relazione.
NOTA: Se A = B si avrà che r è una relazione tra gli elementi di uno stesso insieme, A o B che sia.
Siano dati due insiemi non vuoti A,B e una relazione r(a,b) con a ∈ A, b ∈ B.
L’insieme A è detto dominio della relazione mentre l’insieme B è il codominio della relazione.
Il sottoinsieme di B i cui elementi soddisfano r viene detto immagine della relazione mentre il sottoinsieme di A i cui elementi soddisfano r viene denominato controimmagine della relazione.
Banalmente quindi l’immagine sarà per forza contenuta nel codominio mentre la controimmagine sarà contenuta nel dominio; nulla vieta che questi insiemi possano coincidere.
Esempi di relazioni binarie
Esempio 1: Nel nostro linguaggio una relazione binaria può essere “x è figlio di y” oppure “x ha meno anni di y”.
Esempio 2: Nell’ambito matematico invece un esempio può essere, dato X ≔ “insieme dei numeri naturali > 0”, la relazione r(a,b) tale che “a e b siano primi tra loro” ⋀ a, b ∈ X .
Per fare un paio di esempi concreti consideriamo gli insiemi A ≔ {1, 2, 3} e B ≔ {1, 2, 3, 4}.
Esempio 3: Data una relazione r qualsiasi e dati i seguenti due grafici ℜ possiamo, usando la definizione stessa di ℜ, capire se tali grafici sono o meno accettabili. ℜ1 ≔ { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) } ℜ2 ≔ { (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) }
Il primo grafico non è accettabile in quanto per la coppia (4,4) non abbiamo tutti gli elementi negli insiemi di partenza A e B: in questo caso 4 ∉ A. Sostanzialmente ℜ1 non è sottoinsieme di A x B.
Il secondo grafico è invece accettabile in quanto tutti i suoi elementi appartengono al prodotto cartesiano di A x B. In particolare una possibile relazione di ℜ2 può essere definita come r(a,b) ≔ “a strettamente minore di b”.
Esempio 4: Considerando gli insiemi A, B precedenti e data la relazione r(a,b) ≔ “a + b = 5” scriviamo il grafico ℜ3 di tale relazione: ℜ3 ≔ { (1,4), (2,3), (3,2) } Volendo esercitare un attimo il lessico, diremo che A è il dominio di r e gli elementi di A che compaiono nelle coppie di ℜ3 sono la controimmagine di r: {1, 2, 3} che in questo caso coincide proprio con A. Concludendo possiamo dire che B è il codominio di r e gli elementi di B che compaiono nelle coppie di ℜ3 sono oggetti appartenenti all’immagine di r: {2, 3, 4} che in questo caso non coincide con B.
Esempio 5: Altri esempi, con cui si avrà a che fare più di frequente, possono essere, dati X = Y, X ≔ ℝ con r1 ≔ “x ≤ y” oppure r2 ≔ “x2+y2 = 1” per le quali disegniamo i rispettivi grafici:
NOTA: La relazione r2 è proprio quella che descrive una circonferenza di raggio 1 centrata nell’origine del piano cartesiano.
Tra tutte le relazioni risaltano per importanza nell’analisi, e non solo, le equivalenze e gli ordinamenti.