Teorema del confronto o dei carabinieri: enunciato e dimostrazione
Nel vasto e dinamico campo dell'analisi matematica, il Teorema del Confronto rappresenta uno strumento fondamentale, specialmente nello studio dei limiti di funzioni e delle serie. Questo teorema, anche noto come il teorema dei carabinieri, fornisce un metodo per determinare il comportamento limite di una funzione confrontandola con altre funzioni le cui proprietà limite sono già note. L'impiego di questo teorema si rivela particolarmente utile in situazioni dove il calcolo diretto del limite risulta complicato o impraticabile.
Enunciato del teorema del confronto o dei carabinieri
Il Teorema del Confronto si articola in diverse varianti, a seconda che si applichi a funzioni o a serie. Nella sua forma più comune relativa alle funzioni, il teorema afferma che se abbiamo tre funzioni f, g, h definite nell’intorno di un punto \(x_0 \in \mathbb{\bar{R}}\) un punto di accumulazione per il dominio delle tre funzioni. Se \(f(x)\le g(x) \le h(x)\) per tutti i valori di x appartenenti all’intorno del punto (eccetto al più \(x_0\)) e se \(lim_{x\to x_0} f(x)=lim_{x\to x_0} h(x)=L \in \mathbb{\bar{R}}\), allora esiste \(lim_{x\to x_0} g(x)=L\)
Importanza del Teorema
Il valore del teorema del confronto risiede nella sua capacità di fornire informazioni definitive sul comportamento limite di una funzione sfruttando la nostra conoscenza di altre funzioni correlate. In pratica, questo significa che se riusciamo a "incorniciare" una funzione tra due "guardie" le cui limitazioni sono note e concordanti, possiamo inferire le proprietà limite della funzione in questione senza necessariamente risolvere il limite direttamente.
Dimostrazione del teorema del confronto
Dall’ipotesi relativa al limite della funzione f segue che, per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un intorno \(U_1\) di \(x_0\) tale che \(L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon\) per ogni \(x \in U_1\) con \(x\ne x_0\).
Analogamente, dall’ipotesi relativa al limite della funzione h segue che, per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un intorno \(U_2\) di \(x_0\) tale che \(L-\epsilon <h(x)<L+\epsilon\) per ogni \(x \in U_2\) con \(x\ne x_0\).
Di conseguenza nell’intorno di \(x_0\) abbiamo che:\(L-\epsilon <f(x)\le g(x) \le h(x) <L+\epsilon\), ovvero:\(L-\epsilon < g(x)<L+\epsilon\)che per definizione di limite equivale a:\(lim_{x\to x_0} g(x)=L\)
Esempio di applicazione del teorema del confronto
Proviamo a verificare che il \(lim_{x\to 0} xsin\frac{1}{x} =0\).
Sappiamo che la funzione seno assume valori compresi tra -1 ed 1, significa quindi \(\left\lvert sin\frac{1}{x}\right\rvert \le 1\) (con \(x\ne x_0\)). Moltiplicando entrambi i lati per \(\lvert x\rvert\) otteniamo:
\(-\lvert x\rvert \le xsin\frac{1}{x}\le\lvert x\rvert\)
ed è abbastanza semplice vedere che \(lim_{x\to 0}-\lvert x\rvert=lim_{x\to 0}\lvert x\rvert=0\).
Per il teorema del confronto abbiamo che \(lim_{x\to 0} xsin\frac{1}{x} =0\).
Enunciato del teorema del confronto per i limiti infiniti
Siano f e g due funzione definite in un intorno di \(x_0\in\mathbb{\bar{R}}\), tali che per ogni x appartenente a questo intorno, risulta \(f(x)\ge g(x)\).
- Se \(lim_{x\to x_0} g(x)=+\infty\) allora anche \(lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty\)
- Se \(lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty\) allora anche \(lim_{x\to x_0} g(x)=-\infty\)
Consideriamo, ad esempio, il seguente limite \(lim_{x\to +\infty} (x+sinx)\).
Abbiamo che \(sinx\ge -1\) di conseguenza \(x + sinx\ge x -1\) e poiché \(lim_{x\to +\infty} (x-1)=+\infty\) dal teorema del confronto per i limiti infiniti, abbiamo che \(lim_{x\to +\infty} (x+sinx)=\infty\).
Considerazioni finali
Il teorema del confronto è un esempio brillante di come principi matematici relativamente semplici possano essere utilizzati per semplificare questioni complesse e fornire intuizioni preziose sul comportamento delle funzioni e delle serie. Questo teorema non solo arricchisce il nostro arsenale analitico ma stimola anche un approccio creativo alla risoluzione dei problemi, invitando a cercare vie indirette e ingegnose per arrivare alla soluzione desiderata.