Verifica di un limite finito per x che tende ad un valore finito

Verificare che una funzione f(x) abbia un limite finito L mentre x tende a un valore finito \(x_0\) è un processo che richiede di dimostrare che, indipendentemente da quanto vicino vogliamo che f(x) sia a L, possiamo sempre trovare un intervallo attorno ad \(x_0\) tale che f(x) sarà entro quella distanza da L quando x è in quell'intervallo. Questo processo può essere compiuto tramite vari approcci, a seconda della specifica funzione e del contesto.

In questa pagina parleremo come effettuare la verifica di un limite finito di una funzione per x che tende ad un valore finito, utilizzando la definizione formale.

Facciamo un esempio con una funzione relativamente semplice e dimostriamo che:

\(\lim_{x\to 3} (2x+1) = 7\)

usando la definizione formale di limite. Secondo questa definizione, dobbiamo mostrare che:

Per ogni \(\epsilon>0\), esiste un \(\delta>0\) tale che se \(0<\lvert x-3\rvert < \delta\), allora \(\lvert(2x+1)-7\rvert<\epsilon\).

Passo 1: impostare la condizione per ε

Iniziamo lavorando sulla parte della disuguaglianza relativa a f(x):

\(\lvert(2x+1)-7\rvert<\epsilon\)

Questo si semplifica in:

\(\lvert2x-6\rvert<\epsilon\)

Ora possiamo fattorizzare il 2:

\(\lvert(2x+1)-7\rvert<\epsilon\)

Da qui, otteniamo:

\(\lvert x-3\rvert<\frac{\epsilon}{2}\)

Passo 2: definire δ in termini di ε

Ora possiamo vedere che se scegliamo \(\delta\) come \(\frac{\epsilon}{2}\), la nostra condizione su x (cioè, \(0<\lvert x-3\rvert < \delta\)) implica la condizione su f(x) (cioè \(\lvert(2x+1)-7\rvert<\epsilon\)).

In altre parole, possiamo dire che:

\(\delta=\frac{\epsilon}{2}\)

Passo 3: dimostrare la relazione

Dobbiamo dimostrare che con questa scelta di \(\delta\), ogni volta che \(0<\lvert x-3\rvert < \delta\), allora \(\lvert(2x+1)-7\rvert<\epsilon\) è vera.

Per \(\delta=\frac{\epsilon}{2}\), se \(0<\lvert x-3\rvert < \delta\), allora:

\(2\lvert x-3\rvert <2\cdot\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)

E questo è esattamente ciò che abbiamo trovare essere equivalente a \(\lvert(2x+1)-7\rvert<\epsilon\)

Conclusione

Abbiamo quindi dimostrato, seguendo la definizione epsilon-delta di un limite, che \(\lim_{x\to 3} (2x+1) = 7\). Abbiamo mostrato che per ogni \(\epsilon>0\), possiamo trovare un \(\delta\) (specificamente \(\delta=\frac{\epsilon}{2}\)) tale che se x è entro \(\delta\) da 3 (ma non uguale a 3) , allora 2x+1 sarà entro \(\epsilon\) da 7. Questo conferma che il limite è effettivamente 7, seguendo la definizione formale di limite.