Classificazione delle funzioni
Le funzioni possono essere classificate secondo diversi criteri. Per esempio, funzioni reali di variabile reale possono essere classificate in base alla propria espressione analitica: se nell’espressione analitica di una funzione sono presenti soltanto un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza a esponente razionale o estrazione di radice, si dice che la funzione è algebrica, altrimenti prende il nome di funzione trascendente.
Le funzioni algebriche si distinguono a loro volta in:
- funzioni intere (o polinomiali), nelle quali la variabile indipendente non compare in alcun denominatore. Possono essere suddivise ulteriormente in funzioni polinomiali a coefficienti interi o frazionari.
Esempio 1: Una funzione polinomiale a coefficienti interi si presenta come la somma di più termini, numerici o elevamenti a potenza con esponente naturale dell’incognita x, ma tutti con coefficiente intero, ossia appartenente a ℤ: \(f(x) = x^5-3x^3+x^2+ -5x +7\)
Esempio 2: Una funzione polinomiale a coefficienti frazionari si presenta come la somma di più termini, numerici o elevamenti a potenza con esponente intero dell’incognita x, ma i coefficienti appartengono all’insieme ℚ: \(f(x) = \frac{1}{5}x^5+3x^3+x^2+ \frac{5}{7}x +7\) - funzioni frazionarie (o fratte), nelle quali la variabile indipendente compare almeno una volta al denominatore.
Esempio 3: Una funzione polinomiale fratta è definita come la divisione tra due polinomi non nulli: \(f(x) = \frac{5x}{x+7}\)
NOTA: Le funzioni polinomiali intere sono particolari funzioni frazionarie dove però il polinomio al denominatore ha grado 0.
Sia le funzioni intere che quelle frazionarie ricadono nell’insieme delle funzioni razionali.
Nelle funzioni nelle quali la variabile indipendente compare almeno una volta sotto il segno della radice, vengono dette funzioni irrazionali e possono a loro volta essere suddivise in intere e frazionarie.
Esempio 4: Affinché una funzione sia irrazionale basta che un solo termine abbia l’incognita sotto radice: \(f(x)=x^5-3x^3+x^2-5\sqrt{x}+7 \) \(g(x)=\frac{5x}{\sqrt{x}+7}\)
Le funzioni trascendenti si distinguono dalle funzioni algebriche per la presenza di espressioni logaritmiche, esponenziali o goniometriche in cui compare la variabile indipendente. Sono funzioni trascendenti anche le potenze a esponente irrazionale, ad esempio \(x^{\sqrt{2}}\), in quanto è dimostrabile che tale funzione sia esprimibile con un infinito numero di operazioni algebriche elementari.
Esempio 5: Nelle funzioni logaritmiche la variabile indipendente compare solo nell’argomento di uno o più logaritmi: \(f(x)=log(x)-log(x+2)\)
Esempio 6: Nelle funzioni esponenziali la variabile indipendente compare solo come esponente: \(f(x)=e^{x-3}\)
Esempio 7: Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente compare solo come argomento di una o più funzioni goniometriche: \(f(x)=sin^2(x) \)
Esempio 8: Le funzioni trascendenti possono essere anche miste: \(f(x)=\frac{log(x)+e^x}{sin(x)}\)
Esempio 9: La presenza di funzioni trascendenti nell’espressione analitica di una funzione f(x), ad esempio le funzioni goniometriche, non implica che f(x) sia per forza una funzione trascendente: \(f(x)=\frac{sin^2(x)+cos^2(x)}{x^2} \)Nonostante siano presenti le due funzioni goniometriche seno e coseno, la funzione f(x), in base alla relazione trigonometrica fondamentale \(sin^2(x)+cos^2(x)=1\), si può riscrivere come: \(f(x)=\frac{1}{x^2}\)che è una funzione algebrica. Tuttavia, dato che questi sono casi particolari, è molto probabile che la presenza di una o più funzioni trascendenti renda l’espressione analitica generale trascendente.