Le principali operazioni degli insiemi
Avendo ben chiaro il concetto di insieme e sfruttando i diagrammi di Venn per visualizzare meglio le operazioni svolte, procediamo elencando le principali operazioni insiemistiche con cui, dati A e B due insiemi generici, si ottiene un nuovo insieme risultante:
unione di A e B:
A U B ≔ {x | x ∈ A ⋁ x ∈ B}
ovvero è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi. Gli elementi dell’insieme unione possono anche appartenere ad entrambi poiché il simbolo logico V non implica la negazione.
intersezione di A e B:
A ∩ B ≔ {x | x ∈ A ⋀ x ∈ B}
ossia l’insieme risultante comprende tutti gli elementi che appartengono simultaneamente ad entrambi gli insiemi di partenza; se A ∩ B = ∅ abbiamo due insiemi disgiunti, cioè che non hanno alcun oggetto in comune.
differenza di A da B:
B\A ≔ {x | x ∈ B ⋀ x ∉ A}
è la classe di tutti gli oggetti del primo insieme (B) che contemporaneamente non appartengono al secondo insieme (A).
differenza simmetrica di A e B:
AΔB ≔ {x | (x ∈ B ⋀ x ∉ A) ⋀ (x ∈ A ⋀ x ∉ B)}
che è l’unione dell’insieme degli elementi del primo insieme (A) che non appartengono al secondo (B), e degli elementi del secondo che non appartengono al primo. Un altro modo per descriverla è come l’unione dei due insiemi A e B a cui viene sottratta l’intersezione dei due, cioè gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi.
AΔB = (A\B) U (B\A)
complementazione: sia U un insieme detto insieme universo e sia la classe di tutti i sottoinsiemi propri e impropri di U l’insieme delle parti ℘(U) . Dato un insieme A ∈ ℘(U), è definito come complementare di A rispetto a U (𝓒 A) l’insieme U \ A:
𝓒 A ≔ {x : (x ∈ U) e (x ∉ A)}
𝓒 A ≔ U \ A
Tabella con le principali proprietà delle operazioni degli insiemi
Proponiamo una tabella che riassume le principali proprietà delle operazioni di unione e di intersezione che sono le più comuni. Per approfondire invitiamo a consultare le specifiche pagine (i link si trovano sui nomi del precedente elenco).
Proprietà | Unione | Intersezione |
---|---|---|
Commutativa | A U B = B U A | A ∩ B = B ∩ A |
Associativa | (A U B) U C = A U (B U C) | (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) |
Distributiva | A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) | A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) |
Idempotenza | A U A = A | A ∩ A = A |
Assorbimento | A U (A ∩ B) = A | A ∩ (A U B) = A |
Inclusione | A ⊆ B ⇔ (A U B = B) | A ⊇ B ⇔ (A ∩ B = B) |
Elenchiamo inoltre le proprietà dell’operazione di complementazione; anche queste nozioni sono approfondibili attraverso le specifiche pagine, in particolare le leggi di De Morgan utili nell’esecuzione di operazioni tra insiemi.
Proprietà | Complementazione |
---|---|
Involutoria | 𝓒 (𝓒 A) = A |
Leggi di De Morgan | 𝓒 (A ∩ B) = 𝓒 A U 𝓒 B 𝓒 (A U B) = 𝓒 A ∩ 𝓒 B A ∩ 𝓒 A = ∅ A U 𝓒 A = U |