Unione tra insiemi: definizione, proprietà ed esempi

Avendo ben chiaro il concetto di insieme, sfruttando i diagrammi di Venn per visualizzare meglio le operazioni svolte e definendo un insieme universo U per evitare ambiguità, procediamo spiegando una delle principali operazioni insiemistiche.

Dati A, B due insiemi generici contenuti in U, l’unione di A e B restituisce un nuovo insieme risultante A U B che comprende tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B. L’insieme risultante, intuitivamente contenuto anch’esso in U, è definito come:

A U B ≔ {x ∈ U | x ∈ A ⋁ x ∈ B}

ovvero è l’insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi. Gli elementi dell’insieme unione possono anche appartenere ad entrambi gli insiemi di partenza poiché il simbolo logico V non implica la negazione di una condizione quando l’altra è vera.

La rappresentazione con il diagramma di Venn dell’insieme unione corrisponde alla parte colorata in arancione nella seguente figura:

Esempio 1: Sia U ≔ ℕ e siano A, B, C alcuni suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {1, 2, 3, 4}, B ≔ {3, 4, 5}, C ≔ {6, 7}. Unendo i precedenti insiemi avremo:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5}

A U C  = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

B U C = B = {3, 4, 5, 6, 7}

Si presti attenzione, nel caso in cui gli insiemi abbiano elementi in comune, a non ripeterli: infatti, come visto nella definizione di insieme, è richiesto che tutti gli elementi siano distinti tra loro. La notazione A U B = {1, 2, 3, 4, 3, 4, 5} è da considerarsi errata.

Esempio 2: Sia U ≔ ℕ e siano A, B due suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {x ∈ U | x ≤ 4}, B ≔ {x ∈ U | x > 4}. Unendo i precedenti insiemi avremo l’insieme universo di partenza, ossia in questo caso diremo che i due insiemi sono complementari:

A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} = ℕ = U

Nota: ponendo U come ℚ o ℝ possiamo attuare l’operazione di unione anche tra insiemi densi e questo tornerà utile nell’Analisi Matematica.

Proprietà dell'unione tra insiemi

Posto un insieme universo U e dati tre suoi sottoinsiemi generici A, B, C, per l’operazione di unione valgono le seguenti proprietà:

1. L’unione di un qualsiasi insieme con sè stesso è equivalente all’insieme di partenza, infatti se B = A allora:

   A U B = A U A = A

   poiché vogliamo tutti gli elementi che appartengono almeno ad uno degli insiemi, ma questi sono tra loro equivalenti;

2. L’unione di un qualsiasi insieme con ∅ è equivalente all’insieme di partenza, posto B = ∅ allora:

   A U B = A U ∅ = A

   dato che vogliamo tutti gli elementi che appartengono almeno ad uno degli insiemi, ma l’insieme vuoto ∅ per definizione non ha elementi;

3. L’unione di un qualsiasi insieme con un suo sottoinsieme coincide con l’insieme contenitore, infatti posto per ipotesi A ⊆ B si ha che:

   A U B = B

   visto che per definizione di sottoinsieme tutti gli elementi di A appartengono a B;

4. L’unione di un qualsiasi insieme con l’insieme ambiente U coincide con U stesso:

   A U U = U

   e la spiegazione è analoga alla proprietà 3 dato che per ipotesi A ⊆ U;

5. L’unione di un qualsiasi insieme con la sua intersezione con un secondo insieme è uguale al primo insieme di partenza:

   A U (A ∩ B) = A

   per il semplice fatto che possiamo applicare la proprietà 3 dato che A ∩ B ⊆ A;

Nota: le precedenti 5 proprietà sono tutte casistiche particolari della proprietà di inclusione n.3. In particolare si ricordi la nozione di sottoinsiemi impropri per la quale ∅, A ⊆ A. 

• L’unione tra due insiemi è commutativa:

  A U B = B U A

  poiché nella nozione di insieme non ha importanza l’ordine con cui vengono presi gli elementi;

• L’unione tra due insiemi è associativa:

  (A U B) U C = A U (B U C)

  sempre per il fatto che l’ordine dei termini non ha importanza;

• L’unione tra due insiemi è distributiva rispetto all’intersezione:

  A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

  e ciò è facilmente verificabile con dei diagrammi di Venn;

• Il complementare dell’unione corrisponde all’intersezione dei complementari dei singoli insiemi (Legge di De Morgan):

  𝓒 (A U B) = 𝓒 A ∩ 𝓒 B

  e ciò è facilmente verificabile con dei diagrammi di Venn come mostrato nell’apposita lezione;

• L’unione di un insieme con il suo complementare coincide con l’insieme universo U:

  A U 𝓒 A = U

  per definizione di complementare oltre che a essere verificabile con dei diagrammi di Venn.

Riassumiamo le 10 proprietà nella seguente tabella seguendo l’ordine precedente.