Intersezione tra insiemi

Avendo ben chiaro il concetto di insieme, sfruttando i diagrammi di Venn per visualizzare meglio le operazioni svolte e definendo un insieme universo U per evitare ambiguità, procediamo spiegando una delle principali operazioni insiemistiche.

Dati A, B due insieme generici contenuti in U, l’ intersezione di A e B restituisce un nuovo insieme risultante A ∩ B che comprende tutti gli elementi che appartengono contemporaneamente ad entrambi gli insiemi dati. L’insieme risultante, intuitivamente contenuto anch’esso in U, è definito come A ∩ B ≔ {x ∈ U | x ∈ A ⋀ x ∈ B} ovvero è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono simultaneamente ad entrambi gli insiemi di partenza. In particolare se A ∩ B = ∅ abbiamo due insiemi disgiunti, cioè che non hanno alcun oggetto in comune.

La rappresentazione con il diagramma di Venn dell’insieme intersezione corrisponde alla parte colorata in arancione nella seguente figura

mentre per il caso particolare di insiemi disgiunti si ha

Esempio 1: Sia U ≔ ℕ e siano A, B, C alcuni suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {1, 2, 3, 4}, B ≔ {3, 4, 5}, C ≔ {5, 6, 7}. Intersecando i precedenti insiemi avremo A ∩ B = {3, 4} A ∩ C = ∅ B ∩ C = {5}Si presti attenzione al fatto che gli elementi in comune non devono essere ripetuti: infatti, come visto nella definizione di insieme, è richiesto che tutti gli elementi siano distinti tra loro. La notazione A ∩ B = {3, 4, 3, 4} è da considerarsi un errore.

Esempio 2: Sia U ≔ ℕ e siano A, B due suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {x ∈ U | x ≥ 4}, B ≔ {x ∈ U | x ≥ 20}. Intersecando i precedenti insiemi avremo A ∩ B = {x ∈ U | x ≥ 20} = Bin questo caso diremo che un insieme è contenuto nell’altro ovvero che B è sottoinsieme di A, B ⊂ A.

NOTA: ponendo U come ℚ o ℝ possiamo attuare l’operazione di intersezione anche tra insiemi densi e questo tornerà utile nell’Analisi Matematica.

Proprietà intersezione

Posto un insieme universo U e dati tre suoi sottoinsiemi generici A, B, C, per l’operazione di intersezione valgono le seguenti proprietà:

• L’ intersezione di un qualsiasi insieme con sè stesso è equivalente all’insieme di partenza, infatti se B = A allora: A ∩ B = A ∩ A = A poiché vogliamo tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi simultaneamente;
• L’ intersezione di un qualsiasi insieme con ∅ è equivalente all’insieme vuoto ∅, posto B = ∅ allora: A ∩ B = A ∩ ∅ = ∅ dato che vogliamo tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi, ma l’insieme vuoto ∅ per definizione non ha elementi;
• L’ intersezione di un qualsiasi insieme con un suo sottoinsieme coincide con il sottoinsieme stesso, infatti posto per ipotesi A ⊆ B si ha che: A ∩ B = A visto che per definizione di sottoinsieme tutti gli elementi di A appartengono a B;
• L’ intersezione di un qualsiasi insieme con l’insieme ambiente U coincide con U stesso: A ∩ U = A e la spiegazione è analoga alla proprietà 3 dato che per ipotesi A ⊆ U;
• L’ intersezione di un qualsiasi insieme con la sua unione con un secondo insieme è uguale al primo insieme di partenza: A ∩ (A U B) = A per il semplice fatto che possiamo applicare la proprietà 3 dato che A ⊆ A U B;

NOTA: le precedenti 5 proprietà sono tutte casistiche particolari della proprietà di inclusione della terza proprietà. In particolare si ricordi la nozione di sottoinsiemi impropri per la quale ∅, A ⊆ A.

• L’ intersezione tra due insiemi è commutativa A ∩ B = B ∩ A poiché nella nozione di insieme non ha importanza l’ordine con cui vengono presi gli elementi;
• L’ intersezione tra due insiemi è associativa : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) sempre per il fatto che l’ordine dei termini non ha importanza;
• L’ intersezione tra due insiemi è distributiva rispetto all’unione A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) e ciò è facilmente verificabile con dei diagrammi di Venn;
• Il complementare dell’ intersezione corrisponde all’ unione dei complementari dei singoli insiemi (Legge di De Morgan) : 𝓒 (A ∩ B) = 𝓒 A U 𝓒 B e ciò è facilmente verificabile con dei diagrammi di Venn come mostrato nell’apposita lezione;
• L’ intersezione di un insieme con il suo complementare coincide con l’insieme vuoto ∅ : A ∩ 𝓒 A = ∅ per definizione di complementare oltre che a essere verificabile con dei diagrammi di Venn.

Riassumiamo le 10 proprietà nella seguente tabella seguendo l’ordine precedente