Uguaglianza tra funzioni

In base alla definizione di funzione, data nell’omonima pagina Funzione, sappiamo che sono 3 gli elementi che la caratterizzano: dominio, codominio e la relazione di corrispondenza tra gli elementi dei due insiemi. Ne deriva, quindi, che due funzioni sono uguali se e solo se dominio, codominio e la relazione che li lega sono uguali tra loro.

Esempio 1: Siano date le funzioni f, g definite come segue:
\(f: ℝ → ℝ \; | \; x ⟼ x^3\)
\(g: ℝ → ℝ_0 \; | \; x ⟼ x^3 \: dove \: ℝ_0 ≔ {x ∈ ℝ \; | \; x ≠ 0}\)

Le funzioni sopra descritte, secondo la definizione di funzione, non sarebbero uguali in quanto, nonostante legge e dominio coincidano, non possiamo dire lo stesso per il codominio: ℝ ≠ ℝ₀.

Nella pratica, tuttavia, la condizione di uguaglianza viene ridotta accettando una certa variabilità sul codominio, mentre dominio e legge devono comunque coincidere: le funzioni f, g descritte nell’esempio 1 risultano coincidere con questa definizione “rilassata”.

Un’altra convenzione accennata nelle pagine precedenti prevede, data una legge che definisce una funzione f, di assumere come dominio naturale l’insieme di tutti gli elementi per i quali la relazione abbia senso. Per quanto riguarda il codominio, invece, si può pensare di prendere direttamente l’insieme immagine f(X) o un insieme che lo include, ad esempio ℝ.

Esempio 2: Sia data la seguente legge: \( f(x) = \frac{1}{x}\) In base a quanto detto prima, procediamo stabilendo il dominio naturale della funzione: dom(f) ≔ {x ∈ ℝ | x ≠ 0} Possiamo inoltre porre arbitrariamente un codominio comodo come cod(f) ≔ ℝ nonostante si potrebbe notare che l’elemento 0 ∉ Im(X).

In caso ci fossero dubbi su come è stato trovato il dominio naturale dell’esempio 2 si consulti la pagina dominio di una funzione.

Esempio 3: Siano date le funzioni f, g definite come segue e si determini se esse siano uguali o meno, secondo la condizione di uguaglianza rilassata: \( f(x) = x^2-1\) \( g(x) = \frac{x^4-1}{x^2+1}\) Procediamo calcolando il dominio naturale delle funzioni che per f risulta essere banalmente ℝ, in quanto polinomio, mentre per g(x) si deve prestare attenzione al denominatore; in questo caso al denominatore è presente un polinomio irriducibile, x²+1, che in ℝ non è mai uguale a zero e di conseguenza anche il dominio di g(x) sarà l’insieme dei numeri reali.
Ora, ricordando i prodotti notevoli che caratterizzano i polinomi, si può notare che il numeratore di g(x) è una differenza di quadrati: \(x^4-1 = (x^2-1) (x^2+1)\). Segue, semplificando il polinomio x²+1 a numeratore e denominatore, che g(x) = x²-1. Oltre ad avere lo stesso dominio, le funzioni f e g hanno anche la stessa legge analitica: sono funzioni uguali.

Esempio 4: Siano date le funzioni f, g definite come segue e si determini se esse siano uguali o meno, secondo la condizione di uguaglianza rilassata: \( f(x) = x^2-1\) \( g(x) = \frac{x^4-1}{x^2-1}\) Sulla falsa riga dell’esercizio precedente si potrebbe dedurre, con le opportune semplificazioni, g(x) = x²+1 e concludere che f e g siano funzioni uguali. Tuttavia bisogna sempre ricordare che, oltre alla legge analitica, deve essere uguale anche il dominio; a differenza di prima per la funzione g(x) a denominatore abbiamo un polinomio che si annulla: x²-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ +-1. Si ha dom(f) ≔ ℝ mentre dom(g) ≔ ℝ \ {1,-1} e quindi le funzioni non sono uguali.

NOTA: Questo errore può essere commesso se non si tiene conto delle condizioni necessarie per effettuare una semplificazione tramite moltiplicazione/divisione:
la semplificazione \( \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1} = x^2+1\) è possibile solo se ci assicuriamo che il termine semplificato sia diverso da 0.