Complementazione di un insieme

Avendo ben chiaro il concetto di insieme, sfruttando i diagrammi di Venn per visualizzare meglio le operazioni svolte e definendo un insieme universo U per evitare ambiguità, procediamo spiegando una delle principali operazioni insiemistiche.

Dato A un insieme generico contenuto in U, la complementazione, o il complementare, di A rispetto all’ insieme ambiente U definisce un nuovo insieme risultante 𝓒 A che è la classe di tutti gli oggetti dell’insieme ambiente che non appartengono all’insieme A di partenza. L’insieme risultante, intuitivamente contenuto anch’esso in U, è definito come 𝓒 A ≔ {x | (x ∈ U) ⋀ (x ∉ A)} o, equivalentemente, usando la differenza insiemistica 𝓒 A ≔ U \ A

Una definizione più elaborata è la seguente: sia U un insieme detto insieme universo e sia la classe di tutti i sottoinsiemi propri e impropri di U l’insieme delle parti ℘(U). Dato un insieme A ∈ ℘(U), è definito come complementare di A rispetto a U, indicato con 𝓒 A, l’insieme U \ A.

Nel caso dell’insieme vuoto ∅ possiamo notare che il suo complementare è l’insieme universo U stesso e, viceversa, il complementare dell’insieme universo è l’insieme vuoto.

NOTA: alcuni testi operano una distinzione tra complementare assoluto e complementare relativo. Il complementare assoluto corrisponde alle definizioni fornite sopra, ovvero il complementare rispetto all’insieme universo U, mentre il complementare relativo viene utilizzato per indicare il complementare di un sottoinsieme rispetto ad un insieme contenitore che è diverso dall’insieme universo (ma in esso contenuto). Nei nostri esempi il complementare assoluto è assunto come standard mentre nei casi di complementare relativo ridefiniamo l’insieme universo caso per caso. Nel caso qualcuno la preferisca, dato un insieme universo U, un insieme generico A in esso contenuto e un sottoinsieme B tale che B ⊆ A suggeriamo la notazione 𝓒_U B per indicare il complementare di B rispetto a U mentre 𝓒_A B per indicare il complementare di B rispetto ad A.

La rappresentazione con il diagramma di Venn dell’insieme complementare corrisponde alla parte colorata in arancione nella seguente figura

Esempio 1: Sia U ≔ ℕ e siano A, B suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {0, 1, 2, 3, 4}, B ≔ ∅. Operando la complementazione tra i precedenti insiemi avremo 𝓒 A = {x ∈ U | x > 4} 𝓒 B = ℕ = U

Esempio 2: Sia U ≔ ℕ e siano A, B due suoi sottoinsiemi definiti come A ≔ {x ∈ U | x ≥ 4}, B ≔ {x ∈ U | x < 4}. Operando la complementazione tra i precedenti insiemi avremo𝓒 A = {x ∈ U | x < 4} 𝓒 B = {x ∈ U | x ≥ 4} con particolare attenzione ai simboli di <, ≤, >, ≥ dato che un elemento non può appartenere ad un insieme e al suo complementare contemporaneamente.

Proprietà complementazione

Posto un insieme universo U e dati due suoi sottoinsiemi generici A e B, per l’operazione di complementazione valgono le seguenti proprietà:

• Il complementare del complementare di un insieme è l’insieme di partenza: 𝓒 (𝓒 A) = Ache deriva dall’applicazione della definizione, ovvero 𝓒 (𝓒 A) ≔ {x | (x ∈ U) ⋀ (x ∉ 𝓒 A)} che corrisponde proprio ad A;

NOTA: le proprietà che seguono vengono solitamente raggruppate sotto il nome di leggi di De Morgan e soprattutto le prime due possono essere utili nell’esecuzione di operazioni tra insiemi. Queste leggi descrivono delle relazioni tra unione, intersezione e complementazione ma qua ci limitiamo solo ad enunciarle; per chi volesse una dimostrazione suggeriamo l’apposita pagina dedicata alle leggi di De Morgan.

• Il complementare dell’intersezione è equivalente all’unione dei complementari: 𝓒 (A ∩ B) = 𝓒 A U 𝓒 Be ciò è facilmente verificabile con dei diagrammi di Venn, come mostriamo nell’apposita lezione;
• Il complementare dell’unione è equivalente all’intersezione dei complementari: 𝓒 (A U B) = 𝓒 A ∩ 𝓒 Be anche questo è facilmente verificabile con dei diagrammi di Venn, come mostriamo nell’apposita lezione;
• L’intersezione di un insieme con il suo complementare è un insieme vuoto: A ∩ 𝓒 A = ∅come si può dedurre dalla definizione stessa di complementare;
• L’unione di un insieme con il suo complementare è l’insieme universo: A U 𝓒 A = Usempre derivabile dalla definizione stessa di complementare.

Riassumiamo le 5 proprietà nella seguente tabella seguendo l’ordine precedente